Trong mặt phẳng với hệ tọa độ\(Oxy\), chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số

Câu hỏi số 767477:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ\(Oxy\), chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là:

A. \(\dfrac{{13}}{{81}}\)

B. \(\dfrac{{15}}{{81}}\)

C. \(\dfrac{{13}}{{32}}\)

D. \(\dfrac{{11}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767477

Phương pháp giải

+) Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp \(\Omega = \left\{ {\left. {\left( {x;y} \right)} \right|\left| x \right| \le 4;\left| y \right| \le 4;x;y \in \mathbb{Z}} \right\},\)tìm \(\left| \Omega \right|\)

+) Gọi A là biến cố: “Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2”, biểu diễn A dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của A.

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)

Giải chi tiết

Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {\left. {\left( {x;y} \right)} \right|\left| x \right| \le 4;\left| y \right| \le 4;x;y \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Có 9 cách chọn x, 9 cách chọn y, do đó \(\left| \Omega \right| = 9\,\,x\,\,9\, = 81\)

Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là hình tròn tâm O bán kính 2.

Gọi A là biến cố: “ Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2” \( \Rightarrow A = \left\{ {\left( {x;y} \right) + {x^2} + {y^2} \le 4} \right\} \Rightarrow {x^2} \le 4 \Rightarrow - 2 \le x \le 2\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2} \right\} \Rightarrow \)có 5 điểm

Với \(x = \pm 1 \Rightarrow y \in \left\{ {0; \pm 1} \right\} \Rightarrow \)Có \(2.3 = 6\)điểm

Với \(x = \pm 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow \)Có 2 điểm.

\( \Rightarrow \left| A \right| = 5 + 6 + 2 = 13.\) Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{13}}{{81}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.