Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}\,\,({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\) có AE là đường phân giác (E thuộc cạnh

Câu hỏi số 768482:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}\,\,({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\) có AE là đường phân giác (E thuộc cạnh BC). Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với AE lấy điểm D sao cho góc BCD bằng \({90^0}\). Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho góc DEF bằng \({90^0}\).
a) Chứng minh tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn và \({\rm{B}}{{\rm{E}}^2} = {\rm{BA}}.{\rm{BF}}\).
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, đường thẳng đi qua E và song song với AC cắt cạnh AB tại P. Chứng minh OP vuông góc với AE và điểm O thuộc đường thẳng BD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768482

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{BAE}}\) và \(\Delta {\rm{BEF}}\) đồng dạng. Do đó \(\dfrac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BE}}}} = \dfrac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{BF}}}}\) hay \({\rm{B}}{{\rm{E}}^2} = {\rm{BA}}{\rm{.BF}}\).

b) Chứng minh OP là đường trung trực của đoạn thẳng AE . Suy ra \({\rm{OP}} \bot {\rm{AE}}\).
Từ đó chứng minh \({\rm{\Delta OEP}}\) đồng dạng với \(\Delta {\rm{DCA}}\), suy ra \(\dfrac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{DC}}}} = \dfrac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{CA}}}}\) (1).
\({\rm{EP}}//{\rm{CA}} \Rightarrow \dfrac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{CA}}}} = \dfrac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{BC}}}}\) (2).

Giả sử BO cắt CD tại \({{\rm{D}}_1};{\rm{OE}}//{{\rm{D}}_1}{\rm{C}} \Rightarrow \dfrac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{BC}}}} = \dfrac{{{\rm{OE}}}}{{{{\rm{D}}_1}{\rm{C}}}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{DC}}}} = \dfrac{{{\rm{OE}}}}{{{{\rm{D}}_1}{\rm{C}}}} \Leftrightarrow {\rm{DC}} = {{\rm{D}}_1}{\rm{C}}\), mà D và \({{\rm{D}}_1}\) nằm cùng phía đối với đường thẳng BC nên D trùng \({{\rm{D}}_1}\)

Giải chi tiết

a) Theo giả thiết: \(\angle {{\rm{DAE}}} = {90^0}\) và \(\angle {{\rm{DCE}}} = {90^0}\).

Vì \(\angle {{\rm{DAE}}} + \angle {{\rm{DCE}}} = {180^0}\) nên tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn (đường kính DE).
\(\angle {{\rm{BAE}}} = \angle {{\rm{CAE}}},\angle {{\rm{CAE}}} = \angle {{\rm{CDE}}}\) (cùng chắn cung CE của đường tròn đường kính DE), \(\angle {{\rm{CDE}}} = {180^0} - {90^0} - \angle {{\rm{CED}}} = \angle {{\rm{BEF}}} \Rightarrow \angle {{\rm{BAE}}} = \angle {{\rm{BEF}}}\).
Do đó \(\Delta {\rm{BAE}}\) và \(\Delta {\rm{BEF}}\) đồng dạng. Do đó \(\dfrac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BE}}}} = \dfrac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{BF}}}}\) hay \({\rm{B}}{{\rm{E}}^2} = {\rm{BA}}{\rm{.BF}}\).

b) Vì \(\angle {{\rm{AEP}}} = \angle {{\rm{EAC}}} = \angle {{\rm{EAP}}}\) nên \(\Delta {\rm{AEP}}\) cân tại P hay \({\rm{PA}} = {\rm{PE}}\).

Vì \({\rm{PA}} = {\rm{PE}}\) và \({\rm{OA}} = {\rm{OE}}\) nên OP là đường trung trực của đoạn thẳng AE .

Suy ra \({\rm{OP}} \bot {\rm{AE}}\).
Vì \(\angle {{\rm{BEF}}} = \angle {{\rm{BAE}}}\) (theo câu a) nên BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta {\rm{AEF}}\), suy ra \({\rm{OE}} \bot {\rm{BC}} \Rightarrow {\rm{OE}}//{\rm{CD}}\).

Vì \({\rm{OP}}//{\rm{DA}},{\rm{OE}}//{\rm{DC}},{\rm{EP}}//{\rm{CA}}\) nên \({\rm{\Delta OEP}}\) đồng dạng với \(\Delta {\rm{DCA}}\), suy ra \(\dfrac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{DC}}}} = \dfrac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{CA}}}}\) (1).
\({\rm{EP}}//{\rm{CA}} \Rightarrow \dfrac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{CA}}}} = \dfrac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{BC}}}}\) (2).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link