Cho hình bình hành ABCD có góc BAD là góc tù, \({\rm{AB}} < {\rm{AD}}\) và tia phân giác của góc BAD

Câu hỏi số 768481:

Vận dụng

Cho hình bình hành ABCD có góc BAD là góc tù, \({\rm{AB}} < {\rm{AD}}\) và tia phân giác của góc BAD cắt cạnh BC tại K sao cho \({\rm{CK}} < {\rm{AB}}\). Trên cạnh AB lấy điểm L sao cho \({\rm{AL}} = {\rm{CK}}\). Hai đoạn thẳng AK và CL cắt nhau tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ALM cắt đường thẳng AD tại \({\rm{N}}\,({\rm{N}}\) khác A\()\).
a) Chứng minh \({\rm{AB}}.{\rm{NL}} = {\rm{AK}}.{\rm{NM}}\).
b) Chứng minh \(\angle {{\rm{CNL}}} = {90^0}\).
c) Gọi I là giao điểm của BD và KL, chứng minh \(\dfrac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BL}}}} + \dfrac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{BK}}}} = \dfrac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{BI}}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768481

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{ABK}}\) và \(\Delta {\rm{NML}}\) đồng dạng. Do đó \(\dfrac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{NM}}}} = \dfrac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{NL}}}}\) hay \({\rm{AB}}{\rm{.NL}} = {\rm{AK}}{\rm{.NM}}\).

b) Chứng minh \({\rm{\Delta CNL}}\) có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông tại N hay \(\angle {{\rm{CNL}}} = {90^0}\).

c) Kẻ \(AE//KL\) và \(CF//KL\) (\({\rm{E}},{\rm{F}}\) thuộc BD), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

Hai tam giác AOE và COF bằng nhau \(\left( {g - c - g} \right)\), suy ra \({\rm{OE}} = {\rm{OF}}\).

Giải chi tiết

a) Tứ giác ALMN nội tiếp đường tròn nên \(\angle {{\rm{BAK}}} = \angle {{\rm{MNL}}}\)
Ta có: \(\angle {{\rm{ABK}}} = {180^0} - \angle {{\rm{LAN}}} = \angle {{\rm{NML}}}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta {\rm{ABK}}\) và \(\Delta {\rm{NML}}\) đồng dạng.
Do đó \(\dfrac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{NM}}}} = \dfrac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{NL}}}}\) hay \({\rm{AB}}{\rm{.NL}} = {\rm{AK}}{\rm{.NM}}\).

b) Vì \(\angle {{\rm{NAM}}} = \angle {{\rm{LAM}}}\) nên \({\rm{NM}} = {\rm{LM}}\)
Kẻ \({\rm{LX}}//{\rm{AK}},{\rm{X}}\) thuộc BC.

Vì \(\angle {{\rm{AKX}}} = \angle {{\rm{KAD}}} = \angle {{\rm{KAL}}}\) nên tứ giác ALXK là hình thang cân, suy ra \({\rm{XK}} = {\rm{AL}} = {\rm{CK}}\).

Tam giác CLX có \({\rm{XK}} = {\rm{CK}}\) và \({\rm{MK}}//{\rm{XL}}\) nên \({\rm{LM}} = {\rm{CM}}\)
Từ (3) và (4) suy ra \({\rm{NM}} = {\rm{LM}} = {\rm{CM}}\).

Do đó \({\rm{\Delta CNL}}\) vuông tại N hay \(\angle {{\rm{CNL}}} = {90^0}\).

c) Kẻ \(AE//KL\) và \(CF//KL\) (\({\rm{E}},{\rm{F}}\) thuộc BD ), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có: \(\dfrac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BL}}}} + \dfrac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{BK}}}} = \dfrac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{BI}}}} + \dfrac{{{\rm{BF}}}}{{{\rm{BI}}}} = \dfrac{{{\rm{BO}} + {\rm{OE}}}}{{{\rm{BI}}}} + \dfrac{{{\rm{BO}} - {\rm{OF}}}}{{{\rm{BI}}}} = \dfrac{{2{\rm{BO}} + {\rm{OE}} - {\rm{OF}}}}{{{\rm{BI}}}}\)

Hai tam giác AOE và COF bằng nhau \(\left( {g - c - g} \right)\), suy ra \({\rm{OE}} = {\rm{OF}}\).
Do đó \(\dfrac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BL}}}} + \dfrac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{BK}}}} = \dfrac{{2{\rm{BO}}}}{{{\rm{BI}}}} = \dfrac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{BI}}}}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link