Cho \(a > 0,b > 0,c > 0\) và \(a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt

Câu hỏi số 769191:

Vận dụng

Cho \(a > 0,b > 0,c > 0\) và \(a + b + c = 3\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt {{a^2} + 6ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + 6bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + 6ca + {a^2}} \)là:

A. 6

B. \(6\sqrt 2 \)

C. \(3\sqrt 2 \)

D. \(2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769191

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức trong căn về dạng \(m{\left( {a + b} \right)^2} - n{\left( {a - b} \right)^2} \le m{\left( {a + b} \right)^2}\) rồi khai căn, sau đó cộng 2 vế của các bất đẳng thức rồi suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho.

Giải chi tiết

Ta có: \({a^2} + 6ab + {b^2} = 2{\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \le 2{\left( {a + b} \right)^2}\)

Suy ra \(\sqrt {{a^2} + 6ab + {b^2}} \le \sqrt 2 \left( {a + b} \right)\)

Tương tự ta có: \(\sqrt {{b^2} + 6bc + {c^2}} \le \sqrt 2 \left( {b + c} \right)\); \(\sqrt {{c^2} + 6ca + {a^2}} \le \sqrt 2 \left( {c + a} \right)\)

Cộng các vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(T = \sqrt {{a^2} + 6ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + 6bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + 6ca + {a^2}} \le 2\sqrt 2 \left( {a + b + c} \right) = 6\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1\)

Vậy giá trị lớn nhất của T là \(6\sqrt 2 \) khi \(a = b = c = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link