Cho\(a > b > {\mkern 1mu} c > 0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {c(a - c)} + \sqrt {c(b - c)} \le

Câu hỏi số 769234:

Vận dụng

Cho\(a > b > {\mkern 1mu} c > 0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {c(a - c)} + \sqrt {c(b - c)} \le \sqrt {ab} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769234

Phương pháp giải

Chia vế trái cho vế phải, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left( {\dfrac{c}{a};\dfrac{{a - c}}{b}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{c}{b};\dfrac{{b - c}}{a}} \right)\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(\sqrt {\dfrac{{c(a - c)}}{{ab}}} \le \dfrac{1}{2}{\mkern 1mu} \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{{a - c}}{a}} \right) = \dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt {\dfrac{{c(b - c)}}{{ab}}} \le \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{{b - c}}{b}} \right) \le \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\sqrt {\dfrac{{c(a - c)}}{{ab}}} + \sqrt {\dfrac{{c(b - c)}}{{ab}}} \le \dfrac{1}{2}{\mkern 1mu} + \dfrac{1}{2} = 1\)

Do đó: \(\sqrt {c(a - c)} + \sqrt {c(b - c)} \le \sqrt {ab} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 2c\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link