Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho\(a > b > {\mkern 1mu} c > 0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {c(a - c)}  + \sqrt {c(b - c)}  \le

Câu hỏi số 769234:
Vận dụng

Cho\(a > b > {\mkern 1mu} c > 0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {c(a - c)}  + \sqrt {c(b - c)}  \le \sqrt {ab} \)

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:769234
Phương pháp giải

Chia vế trái cho vế phải, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left( {\dfrac{c}{a};\dfrac{{a - c}}{b}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{c}{b};\dfrac{{b - c}}{a}} \right)\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(\sqrt {\dfrac{{c(a - c)}}{{ab}}}  \le \dfrac{1}{2}{\mkern 1mu} \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{{a - c}}{a}} \right) = \dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt {\dfrac{{c(b - c)}}{{ab}}}  \le \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{{b - c}}{b}} \right) \le \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\sqrt {\dfrac{{c(a - c)}}{{ab}}}  + \sqrt {\dfrac{{c(b - c)}}{{ab}}}  \le \dfrac{1}{2}{\mkern 1mu}  + \dfrac{1}{2} = 1\)

Do đó: \(\sqrt {c(a - c)}  + \sqrt {c(b - c)}  \le \sqrt {ab} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 2c\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn