Có bao nhiêu số nguyên dương $m$nhỏ hơn 100 thoả mãn phương trình$\dfrac{1}{\log_{m}3}.\cos 3x +

Câu hỏi số 774670:

Thông hiểu

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$nhỏ hơn 100 thoả mãn phương trình

$\dfrac{1}{\log_{m}3}.\cos 3x + \log_{9}m.\sin 3x = \sqrt{\log_{3}\dfrac{m}{81}}$

có nghiệm? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 19

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774670

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $a.\sin x + b.\cos x = c$có nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện để phương trình có nghĩa: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {m \neq 1} \\ {m > 0} \\ {\log_{3}\dfrac{m}{81} \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow m \geq 81 \right.$.

Khi đó, để phương trình đã cho có nghiệm thì:

$\begin{array}{l} {\left( \dfrac{1}{\log_{m}3} \right)^{2} + \left( {\log_{9}m} \right)^{2} \geq \log_{3}\dfrac{m}{81}} \\ \left. \Leftrightarrow\left( {\log_{3}m} \right)^{2} + \dfrac{1}{4}\left( {\log_{3}m} \right)^{2} \geq \log_{3}m - 4 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{5}{4}\left( {\log_{3}m} \right)^{2} - \log_{3}m + 4 \geq 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{5}{4}\left( {\log_{3}m - \dfrac{2}{5}} \right)^{2} + \dfrac{19}{5} \geq 0\,\,\,(1) \right. \end{array}$

Dễ thấy (1) luôn đúng với điều kiện $m \geq 81$, suy ra để phương trình có nghiệm thì $m \geq 81$

Vậy có 99 – 81 + 1 = 19 số nguyên dương $m$để phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án cần điền là: 19

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.