Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

Câu hỏi số 774776:

Vận dụng

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục MN. Biết rằng ABCD là hình chữ nhật với $AB = 6\text{cm},$ $AD = 10\text{cm}\text{.}$ Gọi M, N lần lượt là trung điềm của A B, C. Hai đường cong là đường Elip có hình chữ nhật cơ sở là ABCD và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AD và BC (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị $\text{cm}^{3}$ ).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774776

Phương pháp giải

Viết phương trình đường Elip

Thể tích của vật trang trí là $V = V_{Elip} - V_{(C)}.$

Giải chi tiết

Xét hình Elip có:

+ Độ dài trục lớn $\left. = AD = 10\Rightarrow a = 5. \right.$

+ Độ dài trục bé $\left. = AB = 6\Rightarrow b = 3 \right.$

Suy ra $\left. (E):\ \dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\Rightarrow y = 3\sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{25}} \right.$

Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho Elip quay quanh trục $Ox$ là:

$\pi \int\limits_{ - 5}^5 {{{\left( {3\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} } \right)}^2}\;dx} = 60\pi .$

Thể tích khối cầu là: $\dfrac{4}{3}\pi r^{3} = \dfrac{4}{3}\pi.3^{3} = 36\pi.$

Vậy thể tích của vật trang trí là $60\pi - 36\pi = 24\pi \approx 75,4~\left( {cm^{3}} \right).$

Đáp án cần điền là: 75,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.