Xét phương trình: $x^{8} - ax^{7} + bx^{6} - 896x^{5} + 1778x^{4} - 373x^{3} - 4176x^{2} + 5760x - 2140

Câu hỏi số 775744:

Vận dụng

Xét phương trình: $x^{8} - ax^{7} + bx^{6} - 896x^{5} + 1778x^{4} - 373x^{3} - 4176x^{2} + 5760x - 2140 = 0$. Biết phương trình trên có 8 nghiệm thực phân biệt $x_{1},x_{2},...,x_{8}.$ Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}} + ... + \dfrac{1}{x_{7}} + \dfrac{1}{x_{8}}$ . (nhập đáp án vào ô trống, kết quả viết dưới dạng phân số tối giản)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 288/107

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775744

Phương pháp giải

Vận dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc cao.

Giải chi tiết

Dễ thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Đặt $t = \dfrac{1}{x}\,\,\left( {t \neq 0} \right)$, khi đó phương trình đã cho trở thành:

$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{t^{8}} - \dfrac{a}{t^{7}} + \dfrac{b}{t^{6}} - \dfrac{896}{t^{5}} + \dfrac{1778}{t^{4}} - \dfrac{373}{t^{3}} - \dfrac{4176}{t^{2}} + \dfrac{5760}{t} - 2140 = 0} \\ \left. \Leftrightarrow 1 - at + bt^{2} - 896t^{3} + 1778t^{4} - 373t^{5} - 4176t^{6} + 5760t^{7} - 2140t^{8} = 0\,\,(2) \right. \end{array}$

Có $T = t_{1} + t_{2} + ... + t_{7} + t_{8}$. Do $t_{1},t_{2},...,t_{7},t_{8}$ là nghiệm của phương trình $(2)$ nên $(2)$ có thể viết lại dưới dạng:

$\begin{array}{l} {- 2140\left( {t - t_{1}} \right)\left( {t - t_{2}} \right)...\left( {t - t_{7}} \right)\left( {t - t_{8}} \right) = 0} \\ \left. \Leftrightarrow - 2140t^{8} + 2140\left( {t_{1} + t_{2} + ... + t_{7} + t_{8}} \right)t^{7} + ... - 2140t_{1}t_{2}...t_{7}t_{8} = 0 \right. \end{array}$

Đồng nhất hệ số của $t^{7}$ ta được: $\left. 5760 = 2140\left( {t_{1} + t_{2} + ... + t_{7} + t_{8}} \right)\Leftrightarrow T = t_{1} + t_{2} + ... + t_{7} + t_{8} = \dfrac{5760}{2140} = \dfrac{288}{107} \right.$.

Đáp án cần điền là: 288/107

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.