Tổng các nghiệm phương trình $\text{cos}^{3}x - \text{sin}^{3}x = \text{sin}x - \text{cos}x$ trong khoảng ($-

Câu hỏi số 779584:

Vận dụng

Tổng các nghiệm phương trình $\text{cos}^{3}x - \text{sin}^{3}x = \text{sin}x - \text{cos}x$ trong khoảng ($- 10;200$) là

A. $\dfrac{8059\pi}{4}$

B. $\dfrac{7063\pi}{4}$

C. $\dfrac{4035\pi}{2}$

D. $\dfrac{8107\pi}{4}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779584

Phương pháp giải

Biến đổi lượng giác giải phương trình tìm các nghiệm và tính tổng

Giải chi tiết

$\left. PT\Leftrightarrow\left( {\text{cos}x - \text{sin}x} \right)\left( {\text{sin}^{2}x + \text{cos}x\text{sin}x + \text{cos}x^{2}} \right) = \text{sin}x - \text{cos}x \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {\text{cos}x - \text{sin}x} \right)\left( {1 + \text{cos}x\text{sin}x} \right) = \text{sin}x - \text{cos}x \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {\text{cos}x - \text{sin}x} \right)\left( {2 + \text{cos}x\text{sin}x} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\text{cos}x = \text{sin}x} \\ {2 + \text{cos}x\text{sin}x = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\text{tan}x = 1} \\ {4 + \text{sin}2x = 0\left( {Vn} \right)} \end{array}\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \right. \right. \right.$

Xét $\left. - 10 < \dfrac{\pi}{4} + k\pi < 200\Leftrightarrow - \dfrac{10}{\pi} - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{200}{\pi} - \dfrac{1}{4} \right.$

$\left. \Rightarrow k = - 3, - 2, - 1,0,1,2,3,\ldots\ldots\ldots.62,63 \right.$ có 67 giá trị k

Khi đó tổng các nghiệm sẽ bằng

$\dfrac{\pi}{4}.67 + \left( {- 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 63} \right)\pi = \dfrac{67\pi}{4} + \left( {4 + 5 + 6 + \ldots + 63} \right)\pi$

Áp dụng công thức tính tổng liên tiếp dạng

$\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2} \right) + \left( {n + 3} \right) + \ldots + m = \dfrac{m\left( {m + 1} \right)}{2} - \dfrac{n\left( {n + 1} \right)}{2}$ ta được

$4 + 5 + 6 + \ldots + 63 = \dfrac{63\left( {63 + 1} \right)}{2} - \dfrac{3.4}{2} = 2010$

Vậy tổng nghiệm cần tìm là $\dfrac{67\pi}{4} + 2010\pi = \dfrac{8107\pi}{4}$

Cách tính tổng trực tiếp sử dụng Casio fx 570ES-Plush (siêu nhanh)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.