Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ không đi qua tâm $O$. Trên đoạn

Câu hỏi số 780355:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ không đi qua tâm $O$. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $H$ khác $B$ sao cho $AH > BH$. Đương thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt cung lớn $AB$ của $(O)$ tại $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $MA,MB$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $EF$ cắt $AB,FH$ và cung nhỏ $AB$ của $(O)$ lần lượt tại $D,K$ và $N$. Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác $MEHF$ và $AMHK$ nội tiếp.
2) AN song song $HE$
3) $\dfrac{AM^{2}}{BM^{2}} = \dfrac{AH}{BH} \cdot \dfrac{AD}{BD}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780355

Phương pháp giải

1) Chứng minh $\widehat{AMK} = \widehat{AMN} = 90^{0} - \widehat{ABM} = \widehat{FHB} = \widehat{AMK}$
Suy ra tứ giác $AMHK$ nội tiếp.
2) Vì $MN$ là đường kính của $(O)$ nên $AN\bot MA$ mà $MA\bot HE$ nên $AN \parallel HE$
3) Chứng minh $\dfrac{AN}{BN} \cdot \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{MA}{MB}$ (1) và $\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AD}{BD} \cdot \dfrac{BN}{AN}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\dfrac{AM^{2}}{BM^{2}} = \dfrac{AN}{BN} \cdot \dfrac{AH}{BH} \cdot \dfrac{AD}{BD} \cdot \dfrac{BN}{AN} = \dfrac{AH}{BH} \cdot \dfrac{AD}{BD}$

Giải chi tiết

1) Vì $\widehat{HEM} = \widehat{HFM} = 90^{0}$ nên tự giác $MEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $MH$.
Ta có: $ME.MA = MF.MB\left( {= MH^{2}} \right)$ nên tứ giác $ABFE$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat{MEF} = \widehat{MBA}$
Mà $\widehat{MBA} + \widehat{AMO} = \dfrac{\widehat{AOM}}{2} + 90^{0} - \dfrac{\widehat{AOM}}{2} = 90^{0}$ nên $\widehat{AMO} + \widehat{MEF} = 90^{0}$
Do đó: $MO\bot EF$ mà $MK\bot EF$ nên $M,O,K$ thã̉ng hàng.
Ta lại có: $\widehat{AMK} = \widehat{AMN} = 90^{0} - \widehat{ABM} = \widehat{FHB} = \widehat{AMK}$
Suy ra tứ giác $AMHK$ nội tiếp.
2) Vì $MN$ là đường kính của $(O)$ nên $AN\bot MA$ mà $MA\bot HE$ nên $AN \parallel HE$
3) Vì $\widehat{AMN} = \widehat{HMB},\widehat{MAN} = \widehat{MHB}\left( {= 90^{0}} \right)$ nên $\Delta MAN$~ $\Delta MHB\left( {\text{g}.\text{g}} \right)$

Suy ra $\dfrac{AN}{BH} = \dfrac{MN}{MB}$
Tương tự, $\dfrac{AH}{BN} = \dfrac{MA}{MN}$
Do đó: $\dfrac{AN}{BH} \cdot \dfrac{AH}{BN} = \dfrac{MA}{MB}$ hay $\dfrac{AN}{BN} \cdot \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{MA}{MB}$ (1)
Ta lại có $\Delta ADN$~ $\Delta MDB$ (g.g) nên $\dfrac{AD}{MD} = \dfrac{AN}{MB}$
Tương tự, $\dfrac{MD}{BD} = \dfrac{AM}{BN}$
Từ đó, ta được: $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AD}{MD} \cdot \dfrac{MD}{BD} = \dfrac{AN}{BM} \cdot \dfrac{AM}{BN} = \dfrac{AN}{BN} \cdot \dfrac{AM}{BM}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AD}{BD} \cdot \dfrac{BN}{AN} \right.$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\dfrac{AM^{2}}{BM^{2}} = \dfrac{AN}{BN} \cdot \dfrac{AH}{BH} \cdot \dfrac{AD}{BD} \cdot \dfrac{BN}{AN} = \dfrac{AH}{BH} \cdot \dfrac{AD}{BD}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link