Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn: $\left( {a^{2} + 3ab} \right)^{5} + \left( {b^{2} -

Câu hỏi số 780356:

Vận dụng

Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn: $\left( {a^{2} + 3ab} \right)^{5} + \left( {b^{2} - ab} \right)^{5} = 2^{2026} + 1$. Chứng minh $a + b\vdots5$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780356

Phương pháp giải

Nhận xét: Với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5} - n:5$.

Giải chi tiết

Nhận xét: Với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5} - n:5$.
Chứng minh nhận xét:
Ta có:

$n^{5} - n = n\left( {n^{4} - 1} \right) = n\left( {n^{2} - 1} \right)\left( {n^{2} + 1} \right)$

$= n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right) + 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)$
Vì $n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right)$ là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên $n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 5$
Do đó: $n^{5} - n \vdots 5$ hay $n^{5} \equiv n\left( {\text{mod}5} \right)$
Áp dụng nhận xét, ta có: $\left( {a^{2} + 3ab} \right)^{5} \equiv a^{2} + 3ab\left( {\text{mod}5} \right);\left( {b^{2} - ab} \right)^{5} \equiv b^{2} - ab\left( {\text{mod}5} \right)$
Suy ra $\left. a^{2} + 3ab + b^{2} - ab \equiv 2^{2026} + 1\left( {\text{mod}5} \right)\Leftrightarrow{(a + b)}^{2} \equiv 2^{2026} + 1\left( {\text{mod}5} \right) \right.$
Mà $2^{2026} + 1 = 4^{1013} + 1 \equiv {( - 1)}^{1013} + 1 \equiv 0\left( {\text{mod}5} \right)$ Nên ${(a + b)}^{2}\vdots5$ hay $a + b\vdots5$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link