a) Cho biểu thức $A = \dfrac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} -

Câu hỏi số 780357:

Vận dụng

a) Cho biểu thức $A = \dfrac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$.

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $A < - \dfrac{8}{5}$.
b) Cho $a,b$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng $\sqrt{\left( {a^{2} + b^{2}} \right){(a - b)}^{2} + a^{2}b^{2}}$ là số hữu tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780357

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn. Cho $A < - \dfrac{8}{5}$ và tìm x.

b) Từ biểu thức ban đầu ta viết được thành $\left| {a^{2} - ab + b^{2}} \right|$. Do $a,b$ hữu tỉ nên $a^{2},ab,b^{2}$ hữu tỉ, suy ra $\left| {a^{2} - ab + b^{2}} \right|$ hữu tỉ.

Giải chi tiết

a) Với $x \geq 0$ và $x \neq 1$, ta có:

$~A = \dfrac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$

$~ = \dfrac{15\sqrt{x} - 11}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} - \dfrac{\left( {3\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} - \dfrac{\left( {2\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$~ = \dfrac{15\sqrt{x} - 11 - \left( {3x + 7\sqrt{x} - 6} \right) - \left( {2x + \sqrt{x} - 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$~ = \dfrac{- 5x + 7\sqrt{x} - 2}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$~ = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {- 5\sqrt{x} + 2} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$~ = \dfrac{- 5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$

Để $\left. A < \dfrac{- 8}{5}\Leftrightarrow\dfrac{- 5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} < \dfrac{- 8}{5}\Leftrightarrow - 25\sqrt{x} + 10 < - 8\sqrt{x} - 24 \right.$ (do $\sqrt{x} + 3 > 0$)
Suy ra: $\left. \sqrt{x} > 2\Leftrightarrow x > 4 \right.$

b) Ta có:

$\sqrt{\left( {a^{2} + b^{2}} \right){(a - b)}^{2} + a^{2}b^{2}}$

$= \sqrt{a^{4} - 2a^{3}b + 3a^{2}b^{2} - 2ab^{3} + b^{4}}$

$= \sqrt{\left( {a^{2} - ab + b^{2}} \right)^{2}} =$$\left| {a^{2} - ab + b^{2}} \right|$
Do $a,b$ hữu tỉ nên $a^{2},ab,b^{2}$ hữu tỉ, suy ra $\left| {a^{2} - ab + b^{2}} \right|$ hữu tỉ.
Vậy $\sqrt{\left( {a^{2} + b^{2}} \right){(a - b)}^{2} + a^{2}b^{2}}$ hữu tỉ.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link