Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC < AB < AC$. Gọi $BD,CE$ là các đường cao, $H$ là trực tâm của
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC < AB < AC$. Gọi $BD,CE$ là các đường cao, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $HC$ lấy điểm $P(P$ khác $H$ và $C),M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho tia $BD$ là phân giác của góc $MBP$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MHC$ cắt $BM$ tại $K(K$ khác $M)$.
a) Chứng minh $BHKN$ nội tiếp.
b) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BKP$.
c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh $I,K,H$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Ta có $\widehat{BNH} = \widehat{NBH} = \widehat{ABH} = \widehat{ACH} = \widehat{MCH} = \widehat{BKH}$.
Suy ra tứ giác $BHKN$ nội tiếp.
b) Chứng minh $\widehat{KHP} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{KBP}}{2}$.
Kết hợp với $BH$ là phân giác của góc $\widehat{KBP}$, ta thu được $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BKP$.
c) Chứng minh $\widehat{IKN} = \widehat{IMN} = 90^{0} - \widehat{MAN} = 90^{0} - \widehat{BAD}$$= \widehat{ABD} = \widehat{NBH} = 180^{0} - \widehat{NKH}$.
Vì vậy ba điểm $I,K,N$ thẳng hàng.
a) Ta có $\widehat{BNH} = \widehat{NBH} = \widehat{ABH} = \widehat{ACH} = \widehat{MCH} = \widehat{BKH}$.
Suy ra tứ giác $BHKN$ nội tiếp.
b) Ta có $\widehat{KHP} = \widehat{KHC} = 180^{0} - \widehat{KMC} = 180^{0} - \widehat{BMD}$.
Mặt khác, $\dfrac{\widehat{KBP}}{2} = \widehat{KBH} = \widehat{MBD}$.
Suy ra $\widehat{KHP} - \dfrac{\widehat{KBP}}{2} = 180^{0} - \widehat{BMD} - \widehat{MBD} = 90^{0}$ hay $\widehat{KHP} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{KBP}}{2}$.
Kết hợp với $BH$ là phân giác của góc $\widehat{KBP}$, ta thu được $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BKP$.
c) Vì $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BKP$ nên $PH$ là tia phân giác của góc $\widehat{KPB}$. Hay nói cách khác, đường thẳng $PK$ và $PB$ đối xứng với nhau qua $CH$.
Kết hợp với $N$ và $B$ đối xứng nhau qua $HC$, ta thu được ba điểm $P,K,N$ thẳng hàng.
Ta có:
$\widehat{MKN} = \widehat{BKP} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{BHP}}{2} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{BHC}}{2}$
$= 90^{0} + \dfrac{180^{0} - \widehat{BAC}}{2} = 180^{0} - \dfrac{\widehat{MAN}}{2} =$$180^{0} - \widehat{MIN}$.
Do đó tứ giác MINK nội tiếp.
Cuối cùng:
$\widehat{IKN} = \widehat{IMN} = 90^{0} - \widehat{MAN} = 90^{0} - \widehat{BAD}$
$= \widehat{ABD} = \widehat{NBH} = 180^{0} - \widehat{NKH}$.
Vì vậy ba điểm $I,K,N$ thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
