Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC < AB < AC$. Gọi $BD,CE$ là các đường cao, $H$ là trực tâm của
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC < AB < AC$. Gọi $BD,CE$ là các đường cao, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $HC$ lấy điểm $P(P$ khác $H$ và $C),M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho tia $BD$ là phân giác của góc $MBP$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MHC$ cắt $BM$ tại $K(K$ khác $M)$.
a) Chứng minh $BHKN$ nội tiếp.
b) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BKP$.
c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh $I,K,H$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Ta có $\widehat{BNH} = \widehat{NBH} = \widehat{ABH} = \widehat{ACH} = \widehat{MCH} = \widehat{BKH}$.
Suy ra tứ giác $BHKN$ nội tiếp.
b) Chứng minh $\widehat{KHP} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{KBP}}{2}$.
Kết hợp với $BH$ là phân giác của góc $\widehat{KBP}$, ta thu được $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BKP$.
c) Chứng minh $\widehat{IKN} = \widehat{IMN} = 90^{0} - \widehat{MAN} = 90^{0} - \widehat{BAD}$$= \widehat{ABD} = \widehat{NBH} = 180^{0} - \widehat{NKH}$.
Vì vậy ba điểm $I,K,N$ thẳng hàng.
a) Ta có $\widehat{BNH} = \widehat{NBH} = \widehat{ABH} = \widehat{ACH} = \widehat{MCH} = \widehat{BKH}$.
Suy ra tứ giác $BHKN$ nội tiếp.
b) Ta có $\widehat{KHP} = \widehat{KHC} = 180^{0} - \widehat{KMC} = 180^{0} - \widehat{BMD}$.
Mặt khác, $\dfrac{\widehat{KBP}}{2} = \widehat{KBH} = \widehat{MBD}$.
Suy ra $\widehat{KHP} - \dfrac{\widehat{KBP}}{2} = 180^{0} - \widehat{BMD} - \widehat{MBD} = 90^{0}$ hay $\widehat{KHP} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{KBP}}{2}$.
Kết hợp với $BH$ là phân giác của góc $\widehat{KBP}$, ta thu được $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BKP$.
c) Vì $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BKP$ nên $PH$ là tia phân giác của góc $\widehat{KPB}$. Hay nói cách khác, đường thẳng $PK$ và $PB$ đối xứng với nhau qua $CH$.
Kết hợp với $N$ và $B$ đối xứng nhau qua $HC$, ta thu được ba điểm $P,K,N$ thẳng hàng.
Ta có:
$\widehat{MKN} = \widehat{BKP} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{BHP}}{2} = 90^{0} + \dfrac{\widehat{BHC}}{2}$
$= 90^{0} + \dfrac{180^{0} - \widehat{BAC}}{2} = 180^{0} - \dfrac{\widehat{MAN}}{2} =$$180^{0} - \widehat{MIN}$.
Do đó tứ giác MINK nội tiếp.
Cuối cùng:
$\widehat{IKN} = \widehat{IMN} = 90^{0} - \widehat{MAN} = 90^{0} - \widehat{BAD}$
$= \widehat{ABD} = \widehat{NBH} = 180^{0} - \widehat{NKH}$.
Vì vậy ba điểm $I,K,N$ thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
