Cho một bảng $4 \times 5$ ô vuông gồm 4 hàng và 5 cột. Ta ghi các số tự nhiên từ 1 dến 20 vào

Câu hỏi số 780361:

Vận dụng

Cho một bảng $4 \times 5$ ô vuông gồm 4 hàng và 5 cột. Ta ghi các số tự nhiên từ 1 dến 20 vào các ô, mỗi ô chứa đúng một số và các số ở mỗi ô là khác nhau. Gọi $d_{i}$ với $i \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}$ là hiệu của số lớn nhất và số nhỏ nhất ở hàng thứ $i$. Gọi $D$ là giá trị lớn nhất trong các giá trị $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$. Ta gọi $D$ là độ lệch của bảng.
a) Hãy chỉ ra một cách ghi để $D = 4$.
b) Hãy chỉ ra một cách ghi để $d_{1} = d_{2} = d_{3} = d_{4} = 5$.
c) Với mỗi cách ghi bất kỳ, ta tiến hành sắp xếp lại các số trong bảng theo quy luật: ở mỗi cột, các số được sắp xếp giảm dần (số trên cùng là lớn nhất, số dưới cùng là nhỏ nhất). Chứng minh sau khi sắp xếp lại thì độ lệch của bảng mới không lớn hơn độ lệch của bảng cũ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780361

Phương pháp giải

Quan sát dữ liệu đề bài để lập bảng.

Giải chi tiết

a) Dễ thấy, bảng sau có $D = 4$:

b) Dễ thấy, bảng sau có $d_{1} = d_{2} = d_{3} = d_{4} = 5$:

c) Ta đánh số của bảng ban đầu như sau:

$\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & \ldots & b_{5} \\ b_{6} & b_{7} & \ldots & b_{10} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{16} & b_{17} & \ldots & b_{20} \end{matrix}$

Sau khi sắp xếp lại bảng, ta có bảng như sau:

$\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{5} \\ a_{6} & a_{7} & \ldots & a_{10} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{16} & a_{17} & \ldots & a_{20} \end{matrix}$

Gọi $d_{i}{}'$ là hiệu số giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất của hàng $i$ ở bảng ban đầu; $d_{i}$ là hiệu số giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất của hàng $i$ ở bảng lúc sau; $D' = \text{max}\left\{ {d_{i}{}'} \right\}$, với $i = 1,2,3,4;D = \text{max}\left\{ d_{i} \right\}$, với $i = 1,2,3,4$.
Giả sử hàng $j$ có $d_{j}$ lớn nhất ở bảng lúc sau, gọi hai số lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là $a_{l}$ và $a_{k}$. Không mất tính tổng quát, ta cố định cột chứa số lớn nhất của hàng $j$ (cột chứa số $a_{l}$) và xếp lại vị trí của các số còn lại sao cho giống với ban đầu.
Khi đó, giả sử số $a_{k}$ được thay vị trí bởi số $b_{k}$. Do sự sắp xếp chỉ diễn ra trên cùng một cột nên $a_{k}$ với $b_{k}$ cùng cột.
Nếu $b_{k} < a_{k}$ thì $a_{l} - a_{k} < a_{l} - b_{k}$. Suy ra $d_{j} = a_{l} - a_{k} < a_{l} - b_{k} \leq d_{j}{}' \leq D'$.
Nếu $b_{k} > a_{k}$. Giả sử $b_{k}$ cùng hàng với $b_{l}$ mà $b_{l}$ cùng cột với $a_{l}$, ta có $b_{l} > a_{l} > a_{k}$. Gọi $d_{l}{}'$ là hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất của hàng chứa $b_{l}$, ta có: $d_{j} = a_{l} - a_{k} < b_{l} - a_{k} \leq$ $d_{l}{}' \leq D'$
Nếu $a_{k}$ giữ nguyên vị trí thì $a_{l} - a_{k} = d_{j} = d_{j}{}' \leq D'$.
Vậy nếu hàng $j$ có $d_{j}$ lớn nhất thì $d_{j} \leq D'$. Điều này cho thấy $D \leq D'$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link