Cho biểu thức: $P = \dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \dfrac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \dfrac{3 + 7\sqrt{a}}{9

Câu hỏi số 780659:

Thông hiểu

Cho biểu thức: $P = \dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \dfrac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \dfrac{3 + 7\sqrt{a}}{9 - a}$ (với $a \geq 0;a \neq 9)$.

1) Rút gọn biểu thức $P$.

2) Tìm giá trị của $a$ để biểu thức $P$ đạt giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780659

Phương pháp giải

1) Rút gọn biểu thức

2) Tìm khoảng giá trị của $P$ rồi xét từng giá trị nguyên của $P$ để tìm $a$.

Giải chi tiết

1) Với $a \geq 0;a \neq 9$, ta có $P = \dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \dfrac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \dfrac{- 3 - 7\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 3)}$

$P = \dfrac{2\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} - 3) + (\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} + 3) - 3 - 7\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 3)}$

$= \dfrac{3a - 9\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 3)} = \dfrac{3\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 3)} = \dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}$

Vậy $P = \dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}$ với $\text{a} \geq 0;\text{a} \neq 9$.

2) Với $\text{a} \geq 0;\text{a} \neq 9$ ta có $P = \dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} = 3 - \dfrac{9}{\sqrt{a} + 3}$

Vì $\text{a} \geq 0$ nên $\sqrt{\text{a}} \geq 0;3\sqrt{\text{a}} \geq 0$ và $\sqrt{a} + 3 \geq 3 > 0$ suy ra $\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} \geq 0$ nên $P \geq 0$ (1).

Ta có $- \dfrac{9}{\sqrt{a} + 3} < 0$ nên $3 - \dfrac{9}{\sqrt{a} + 3} < 3$ suy ra $P < 3$

Từ (1) và (2) ta có $0 \leq P < 3$

Mà $P$ nguyên suy ra $P = \left\{ 0;1,2 \right\}$

$P = 0$ suy ra $a = 0;P = 1$ suy ra $a = \dfrac{9}{4};P = 2$ suy ra $a = 36$

Kết hợp ĐKXĐ $a \geq 0;a \neq 9$ suy ra $a = \left\{ {0;\dfrac{9}{4};36} \right\}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link