Xét bốn số thực (không nhất thiết đôi một khác nhau), mà mỗi số có giá trị tuyệt đối

Câu hỏi số 780658:

Vận dụng

Xét bốn số thực (không nhất thiết đôi một khác nhau), mà mỗi số có giá trị tuyệt đối không vượt quá $\dfrac{1}{2}$ và tổng của ba số bất kỳ trong bốn số đó là một số nguyên. Tìm tất cả các giá trị có thể của tổng bốn số đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780658

Phương pháp giải

Gọi $a,b,c,{\mkern 1mu} d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong đề bài.

Đặt $x = a + b + c,y = a + b + d,z = a + c + d,t = b + c + d$ và $s = a + b + c + d$.

Dựa vào điều kiện $x,y,z,{\mkern 1mu} t$ là các số nguyên và tính chất chia hết để tìm $a,b,c,{\mkern 1mu} d$.

Giải chi tiết

Gọi $a,b,c,{\mkern 1mu} d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong đề bài.

Đặt $x = a + b + c,y = a + b + d,z = a + c + d,t = b + c + d$ và $s = a + b + c + d$.

Khi đó, theo giả thiết của bài ra, ta có: $\left| a \middle| \leq \dfrac{1}{2}, \middle| b \middle| \leq \dfrac{1}{2}, \middle| c \middle| \leq \dfrac{1}{2}, \middle| d \middle| \leq \dfrac{1}{2} \right.$ và $x,y,z,{\mkern 1mu} t$ là các số nguyên.

Khi đó $x + y + z + t = 3(a + b + c + d) = 3a + 3(b + c + d) = 3a + 3t$ là số nguyên nên 3a là số nguyên.

Tương tự $3b,{\mkern 1mu} 3c,3d$ là số nguyên.

Đặt $A = 3a,B = 3b,C = 3c,D = 3d$. Khi đó $A,B,C,{\mkern 1mu} D$ là các số nguyên

và $\left| A \middle| \leq \dfrac{3}{2}, \middle| B \middle| \leq \dfrac{3}{2}, \middle| C \middle| \leq \dfrac{3}{2}, \middle| D \middle| \leq \dfrac{3}{2} \right.$

Từ đó suy ra $A,B,C,D \in \left\{ - 1;0;1 \right\}$.

Vì $A + B + C = 3x,A + B + D = 3y,A + C + D = 3z,B + C + D = 3t$ là các số chia hết cho 3 nên $A,B,C,{\mkern 1mu} D$ có cùng số dư khi chia cho 3 .

Suy ra $A = B = C = D = - 1;A = B = C = D = 0;A = B = C = D = 1$.

Do đó $a = b = c = d = \dfrac{- 1}{3};a = b = c = d = 0;a = b = c = d = \dfrac{1}{3}$.

Vậy $s \in \left\{ {- \dfrac{4}{3};0;\dfrac{4}{3}} \right\}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link