Cho tam giác $ABC$ nhọn. Từ một điểm $I$ nằm trong tam giác $ABC$ kẻ $IM\bot BC,\,\, IN\bot AC,\,\,

Câu hỏi số 781821:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Từ một điểm $I$ nằm trong tam giác $ABC$ kẻ $IM\bot BC,\,\, IN\bot AC,\,\, IK\bot AB$. Đặt $AK = x,\,\, BM = y,\,\, CN = z$. Tìm vị trí của $I$ để tổng $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781821

Phương pháp giải

Đặt $BK = k,\,\, CM = m,\,\, AN = n,\,\, BC = a,\,\, AC = b,\,\, AB = c$

Chứng minh $x^{2} + y^{2} + z^{2} = n^{2} + k^{2} + m^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$

Giải chi tiết

Đặt $BK = k,\,\, CM = m,\,\, AN = n,\,\, BC = a,\,\, AC = b,\,\, AB = c$

Ta có:

$\begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} = AK^{2} + BM^{2} + CN^{2}} \\ {= \left( {IA^{2} - IK^{2}} \right) + \left( {IB^{2} - IM^{2}} \right) + \left( {IC^{2} - IN^{2}} \right)} \\ {= \left( {IA^{2} - IN^{2}} \right) + \left( {IB^{2} - IK^{2}} \right) + \left( {IC^{2} - IM^{2}} \right)} \\ {= n^{2} + k^{2} + m^{2}} \end{array}$

Do đó $2\left( {x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + n^{2} + k^{2} + m^{2} = \left( {x^{2} + k^{2}} \right) + \left( {y^{2} + m^{2}} \right) + \left( {z^{2} + n^{2}} \right)$

Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$ ta có

$\begin{array}{l} {x^{2} + k^{2} \geq \dfrac{\left( {x + k} \right)^{2}}{2} = \dfrac{AB^{2}}{2} = \dfrac{c^{2}}{2}} \\ {y^{2} + m^{2} \geq \dfrac{\left( {y + m} \right)^{2}}{2} = \dfrac{BC^{2}}{2} = \dfrac{a^{2}}{2}} \\ {z^{2} + n^{2} \geq \dfrac{\left( {z + n} \right)^{2}}{2} = \dfrac{AC^{2}}{2} = \dfrac{b^{2}}{2}} \\ \left. \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \dfrac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} \right. \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $x = k,\,\, y = m,\,\, z = n$

$\Leftrightarrow$$I$ là giao điểm của 3 đường trung trực của $\Delta ABC$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link