Cho tam giác $ABC$ nhọn. Từ một điểm $I$ nằm trong tam giác $ABC$ kẻ $IM\bot BC,\,\, IN\bot AC,\,\,

Câu hỏi số 781821:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Từ một điểm $I$ nằm trong tam giác $ABC$ kẻ $IM\bot BC,\,\, IN\bot AC,\,\, IK\bot AB$. Đặt $AK = x,\,\, BM = y,\,\, CN = z$. Tìm vị trí của $I$ để tổng $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781821

Phương pháp giải

Đặt $BK = k,\,\, CM = m,\,\, AN = n,\,\, BC = a,\,\, AC = b,\,\, AB = c$

Chứng minh $x^{2} + y^{2} + z^{2} = n^{2} + k^{2} + m^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$

Giải chi tiết

Đặt $BK = k,\,\, CM = m,\,\, AN = n,\,\, BC = a,\,\, AC = b,\,\, AB = c$

Ta có:

$\begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} = AK^{2} + BM^{2} + CN^{2}} \\ {= \left( {IA^{2} - IK^{2}} \right) + \left( {IB^{2} - IM^{2}} \right) + \left( {IC^{2} - IN^{2}} \right)} \\ {= \left( {IA^{2} - IN^{2}} \right) + \left( {IB^{2} - IK^{2}} \right) + \left( {IC^{2} - IM^{2}} \right)} \\ {= n^{2} + k^{2} + m^{2}} \end{array}$

Do đó $2\left( {x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + n^{2} + k^{2} + m^{2} = \left( {x^{2} + k^{2}} \right) + \left( {y^{2} + m^{2}} \right) + \left( {z^{2} + n^{2}} \right)$

Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$ ta có

$\begin{array}{l} {x^{2} + k^{2} \geq \dfrac{\left( {x + k} \right)^{2}}{2} = \dfrac{AB^{2}}{2} = \dfrac{c^{2}}{2}} \\ {y^{2} + m^{2} \geq \dfrac{\left( {y + m} \right)^{2}}{2} = \dfrac{BC^{2}}{2} = \dfrac{a^{2}}{2}} \\ {z^{2} + n^{2} \geq \dfrac{\left( {z + n} \right)^{2}}{2} = \dfrac{AC^{2}}{2} = \dfrac{b^{2}}{2}} \\ \left. \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \dfrac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} \right. \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $x = k,\,\, y = m,\,\, z = n$

$\Leftrightarrow$$I$ là giao điểm của 3 đường trung trực của $\Delta ABC$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link