Cho tam giác $ABC$ nhọn, điểm $M$ di chuyển trên cạnh $BC$. Gọi $P,\,\, Q$ là hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 781820:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ nhọn, điểm $M$ di chuyển trên cạnh $BC$. Gọi $P,\,\, Q$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của điểm $M$ để $PQ$ có độ dài nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781820

Phương pháp giải

Chứng minh $APMQ$ nội tiếp

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $APMQ$

Đặt $\angle BAC = \alpha$, kẻ $OH\bot PQ$

Biểu diễn $PQ$ theo $AM,\,\,\alpha$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $AM$

Giải chi tiết

Gọi $O$ là trung điểm của $AM$

$\Delta APM$ vuông tại $P$ nên $A,\,\, P,\,\, M$ nằm trên đường tròn $(O)$

$\Delta AQM$ vuông tại $Q$ nên $A,\,\, Q,\,\, M$ nằm trên đường tròn $(O)$

Do đó $A,\,\, P,\,\, M,\,\, Q$ cùng nằm trên đường tròn $(O)$

Kẻ $OH\bot PQ\,\,\left( {H \in \, PQ} \right)$

Đặt $\left. \angle BAC = \alpha\Rightarrow\angle POH = \alpha \right.$

Ta có: $PQ = 2PH = 2OP\sin\alpha = AM\sin\alpha$

Do $\alpha$ không đổi nên $PQ$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $AM$ nhỏ nhất

$\left. \Leftrightarrow AM\bot BC \right.$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link