Bác An có mảnh vườn hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 m. Ở bốn góc vườn, bác An muốn trồng hoa

Câu hỏi số 784461:

Vận dụng

Bác An có mảnh vườn hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 m. Ở bốn góc vườn, bác An muốn trồng hoa vào các phần đất hình tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ góc vườn A đến vị trí E sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức lớp 9 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:784461

Phương pháp giải

Gọi độ dài của đoạn $AE = x(0 < x < 4)(m)$

Suy ra độ dài của đoạn $EB = 4 - x(m)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEF vuông tại A để xác định EF.

Do các phần hình tam giác có diện tích bằng nhau nên ta có: $FG = GH = HE = EF$

Suy ra, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi độ dài EF nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi độ dài của đoạn $AE = x(0 < x < 4)(m)$

Suy ra độ dài của đoạn $EB = 4 - x(m)$.

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

$AE = BH = GC = DF = x\left( {~m} \right)$ và $BE = CH = GD = AF = 4 - x\left( {~m} \right).$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEF vuông tại A, ta có:

$AE^{2} + AF^{2} = EF^{2}$

$2x^{2} - 8x + 16 = EF^{2}$

Suy ra

$EF = \sqrt{2x^{2} - 8x + 16} = \sqrt{2\left( {x^{2} - 4x + 4} \right) + 8}$

$~ = \sqrt{2{(x - 2)}^{2} + 8}$

Do các phần hình tam giác có diện tích bằng nhau nên ta có:

$FG = GH = HE = EF = \sqrt{2{(x - 2)}^{2} + 8}\left( {~m} \right)$

Suy ra, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi $\sqrt{2{(x - 2)}^{2} + 8}$ nhỏ nhất.

Với mọi $0 < x < 4$, ta có:

$2{(x - 2)}^{2} \geq 0$

$2{(x - 2)}^{2} + 8 \geq 8$

$\sqrt{2{(x - 2)}^{2} + 8} \geq \sqrt{8}$

$4\sqrt{2{(x - 2)}^{2} + 8} \geq 4\sqrt{8}$

$4\sqrt{2{(x - 2)}^{2} + 8} \geq 8\sqrt{2}$

Do đó, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng $8\sqrt{2}\,\,(m)$ khi $x - 2 = 0$ hay $x = 2\,\,(m)$.

Vậy khoảng cách từ A đến E bằng 2 m thì tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link