Có bao nhiêu cặp số $\left( {a,b} \right)$ thỏa mãn biểu thức $P = \dfrac{ax + b}{x^{2} + 1}$ đạt giá

Câu hỏi số 786526:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số $\left( {a,b} \right)$ thỏa mãn biểu thức $P = \dfrac{ax + b}{x^{2} + 1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:786526

Phương pháp giải

Gọi $m$ là giá trị của biểu thức $P = \dfrac{ax + b}{x^{2} + 1}$, khi đó phương trình sau phải có nghiệm $x$:

$\begin{array}{l} {m = \dfrac{ax + b}{x^{2} + 1}} \\ {mx^{2} - ax + m - b = 0\,\,\,(1)} \end{array}$

Giải chi tiết

Gọi $m$ là giá trị của biểu thức $P = \dfrac{ax + b}{x^{2} + 1}$, khi đó phương trình sau phải có nghiệm $x$:

$\begin{array}{l} {m = \dfrac{ax + b}{x^{2} + 1}} \\ {mx^{2} - ax + m - b = 0\,\,\,(1)} \end{array}$

Do giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều khác 0 nên ta chỉ xét $m \neq 0$. Do đó phương trình (1) là phương trình bậc hai có nghiệm khi:

$\begin{array}{l} {\Delta = a^{2} - 4m\left( {m - b} \right) \geq 0} \\ {4m^{2} + 4bm + a^{2} \leq 0\,\,\,(2)} \end{array}$

Gọi $m_{1},m_{2}$ $\left( {m_{1} < m_{2}} \right)$ là nghiệm của phương trình $4m^{2} + 4bm + a^{2} = 0$ (3)

Khi đó (2) có nghiệm là $m_{1} \leq m \leq m_{2}$ nên P đạt giá trị nhỏ nhất tại $m_{1}$, đạt giá trị lớn nhất tại $m_{2}$. Do đó $m_{1} = - 1;m_{2} = 4$ là nghiệm của phương trình (3).

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {4 + 4b - a^{2} = 0} \\ {64 - 16b - a^{2} = 0} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {b = 3} \\ {a^{2} = 16} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {a = \pm 4} \\ {b = 3} \end{array} \right.$

Vậy có 2 cặp số $(a\,;\, b)$ thỏa mãn là $\left( {4\,;\, 3} \right)$ và $\left( {- 4\,;\, 3} \right).$

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link