Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp tâm $I$ của tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,\,\,
Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp tâm $I$ của tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,\,\, CA,\,\, AB$ lần lượt tại $D,\,\, E,\,\, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $AM,\,\, DI,\,\, EF$ đồng quy
Quảng cáo
Gọi $L,\,\, N$ tương ứng là giao điểm của $ID$ với $EF$ và của $AL$ với $BC$
Chứng minh $M,\,\, N$ trùng nhau
Gọi $L,\,\, N$ tương ứng là giao điểm của $ID$ với $EF$ và của $AL$ với $BC$
Ta có $\dfrac{NB}{NC} = \dfrac{S_{ABN}}{S_{ACN}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AB.AN.\sin\angle BAN}{\dfrac{1}{2}AC.AN.\sin\angle CAN} = \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{\sin\angle BAN}{\sin\angle CAN}\,\,(1)$
Lại có: $\sin\angle BAN = \dfrac{2S_{AFL}}{AF.AL},\,\,\sin\angle CAN = \dfrac{2S_{AEL}}{AE.AL}$
Suy ra $\dfrac{\sin\angle BAN}{\sin\angle CAN} = \dfrac{S_{AFL}}{S_{AEL}} = \dfrac{FL}{EL}\,\,(2)$
Trong tam giác $IEF$ có:
$\dfrac{FL}{EL} = \dfrac{S_{FIL}}{S_{EIL}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}IF.IL.\sin\angle FIL}{\dfrac{1}{2}IE.IL.\sin\angle EIL} = \dfrac{\sin\angle FIL}{\sin\angle EIL} = \dfrac{\sin\angle B}{\sin\angle C} = \dfrac{AC}{AB}\,\,(3)$
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\dfrac{NB}{NC} = 1$
Nên $N$ là trung điểm của $BC$
Hay $M,\,\, N$ trùng nhau
Vậy $AM,\,\, EF,\,\, ID$ đồng quy
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
