Cho tam giác $ABC$ có $AH,\,\, BM,\,\, CD$ lần lượt là đường cao, đường trung tuyến, đường phân
Cho tam giác $ABC$ có $AH,\,\, BM,\,\, CD$ lần lượt là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác. Biết $\sin\angle BAC = \cos\angle ABC = \tan\angle ACB$. Chứng minh $AH,\,\, BM,\,\, CD$ đồng quy.
Quảng cáo
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ta chứng minh được $\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BH}{CH}$
Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BM$
Kẻ $MK\bot AH\,\,\left( {K \in AH} \right)$
Ta chứng minh được $\dfrac{BC}{CM} = \dfrac{BI}{MI}$
Gọi $I'$ là giao điểm của $BM$ và $CD$
Áp dụng tính chất phân giác ta được $I \equiv I'$
Ta có: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin\angle BAC$
Do đó $\sin\angle BAC = \dfrac{AH.BC}{AB.AC}$
Lại có $\cos\angle ABC = \dfrac{BH}{AB},\,\,\tan\angle ACB = \dfrac{AH}{CH}$
Từ giả thiết $\sin\angle BAC = \cos\angle ABC = \tan\angle ACB$ ta suy ra $\left. \dfrac{AH.BC}{AB.AC} = \dfrac{AH}{AB}.\dfrac{BH}{CH}\Rightarrow\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BH}{CH} \right.$
Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BM$
Kẻ $MK\bot AH\,\,\left( {K \in AH} \right)$
Trong tam giác $AHC$ có $MA = MC$ và $MK \parallel HC$ nên $AK = KH$
Suy ra $KM$ là đường trung bình của $\Delta AHC$
Do đó $HC = 2MK$
Suy ra $\left. \dfrac{BC}{2CM} = \dfrac{BH}{2MK}\Rightarrow\dfrac{BC}{CM} = \dfrac{BH}{MK} \right.$
Mà $\dfrac{BH}{MK} = \dfrac{BI}{IM}\,\,\left( {do\,\, MK \parallel HC} \right)$ nên $\dfrac{BC}{CM} = \dfrac{BI}{MI}$
Gọi $I'$ là giao điểm của $BM$ và $CD$
Áp dụng tính chất phân giác ta được
$\left. \dfrac{BC}{MC} = \dfrac{BI'}{MI'}\Rightarrow\dfrac{BI}{MI} = \dfrac{BI'}{MI'}\Rightarrow\dfrac{BI}{BI + MI} = \dfrac{BI'}{BI' + MI'}\Rightarrow\dfrac{BI}{BM} = \dfrac{BI'}{BM}\Rightarrow BI = BI' \right.$
Do đó $I \equiv I'$
Vậy $AH,\,\, BM,\,\, CD$ đồng quy
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
