Cho đường tròn $\left( {O;r} \right)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Vẽ
Cho đường tròn $\left( {O;r} \right)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Vẽ đường kính $DE,\,\, AE$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $BD = CM$
Quảng cáo
Kẻ tiếp tuyến $HEK$ của $(O)$
Chứng minh $\dfrac{EK}{HK} = \dfrac{BD}{BC},\,\,\dfrac{EK}{HK} = \dfrac{CM}{BC}$
Từ đó suy ra đpcm
Kẻ tiếp tuyến $HEK$ của $(O)\,\,\left( {H \in AB,K \in CD} \right)$
Ta có $\left. ED\bot HK,ED\bot BC\Rightarrow HK// BC \right.$
Vì $OK,\,\, OC$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù $\angle EKC,\,\,\angle KCD$ nên $\angle KOC = 90{^\circ}$
Xét $\Delta OEK$ và $\Delta CDO$ có
$\angle OEK = \angle CDO = 90{^\circ}$
$\angle OKE = \angle COD$ (cùng phụ với $\angle EOK$)
$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\Delta OEK \backsim \Delta CDO \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{EK}{OD} = \dfrac{OE}{CD} \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{EK}{r} = \dfrac{r}{CD} \right. \end{array}$
Tương tự ta có $\dfrac{HE}{r} = \dfrac{r}{BD}$
Do đó $\left. \dfrac{EK}{HE} = \dfrac{BD}{CD}\Rightarrow\dfrac{EK}{EK + HE} = \dfrac{BD}{BD + CD}\Rightarrow\dfrac{EK}{HK} = \dfrac{BD}{BC}\,\,(1) \right.$
Áp dụng hệ quả của định lí Thales trong tam giác $ABM$ có $HE \parallel BM$ ta được $\dfrac{HE}{BM} = \dfrac{AE}{AM}$
Tương tự $\dfrac{EK}{CM} = \dfrac{AE}{AM}$
Do đó $\left. \dfrac{HE}{BM} = \dfrac{EK}{CM}\Rightarrow\dfrac{EK}{CM} = \dfrac{EK + HE}{CM + BM}\Rightarrow\dfrac{EK}{CM} = \dfrac{HK}{BC}\Rightarrow\dfrac{EK}{HK} = \dfrac{CM}{BC}\,\,(2) \right.$
Từ (1) và (2) suy ra $BD = CM$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
