Cho $\Delta ABC$ có $AB > BC$. Qua $C$kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác $BE$ của $\angle

Câu hỏi số 786990:

Vận dụng

Cho $\Delta ABC$ có $AB > BC$. Qua $C$kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác $BE$ của $\angle ABC$, đường thẳng này cắt $BE$ tại $F$ và cắt trung tuyến $BD$ tại $G$. Chứng minh rằng đoạn thẳng $EG$ bị đoạn thẳng $DF$ chia làm 2 phần bằng nhau

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:786990

Phương pháp giải

Gọi $K = CF \cap AB,\,\, M = DF \cap BC$

Chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$

Chứng minh $EG \parallel BC$

Từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết

Gọi $K = CF \cap AB,\,\, M = DF \cap BC$

$\Delta KBC$ có $BF$vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta KBC$ cân tại $B$

$\left. \Rightarrow BK = BC,\,\, FC = FK \right.$

Mặt khác $D$ là trung điểm của $AC$ nên $DF$ là đường trung bình của $\Delta AKC$

$\left. \Rightarrow DF \parallel AK \right.$ hay $DM \parallel AB$

Suy ra $M$ là trung điểm của $BC$

Vì $DF \parallel BK$ nên $\left. \dfrac{BG}{GD} = \dfrac{BK}{DF}\Rightarrow\dfrac{BG}{GD} = \dfrac{BK}{DF} = \dfrac{2BK}{AK}\,\,\left( {do\,\, DF = \dfrac{1}{2}AK} \right)\,\,(1) \right.$

Mặt khác $\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{DC - DE}{DE} = \dfrac{DC}{DE} - 1 = \dfrac{AD}{DE} - 1\,\,\left( {do\,\, AD = DC} \right)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{AE - DE}{DE} - 1 = \dfrac{AE}{DE} - 2 = \dfrac{AB}{DF} - 2\,\,\left( {do\,\,\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{AB}{DF}} \right) \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{AK + BK}{DF} - 2 = \dfrac{2\left( {AK + BK} \right)}{AK} - 2\,\,\left( {do\,\, DF = \dfrac{1}{2}AK} \right) \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{2\left( {AK + BK} \right)}{AK} - 2 = \dfrac{2BK}{AK}\,\,(2) \right. \end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $\left. \dfrac{BG}{GD} = \dfrac{CE}{DE}\Rightarrow EG \parallel BC \right.$

Gọi $O = EG \cap DF$

Khi đó $\dfrac{OG}{MC} = \dfrac{OE}{MB}\left( {= \dfrac{OF}{FM}} \right)$

Vậy $OG = OE$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link