Cho tam giác $ABC$ nhọn, có $AB < AC$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác, $M$ là trung điểm của

Câu hỏi số 786992:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ nhọn, có $AB < AC$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác, $M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại giao điểm thứ hai $P,\,\, PM$ cắt lại $(O)$ tại $N$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $HM$ cắt $AN$ tại $S$. Chứng minh $\Delta SAH$ cân

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:786992

Phương pháp giải

Chứng minh $H,\,\, M,\,\, K$ thẳng hàng

Chứng minh $S,\,\, M,\,\, N,\,\, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SK$

Chứng minh $\Delta OMI \backsim \Delta SKI\,\,\left( {g.g} \right)$ từ đó suy ra $\Delta IMK \backsim \Delta IOS\,\,\left( {c.g.c} \right)$

Từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết

Vẽ đường kính $AK$ của $(O)$ ta có $\angle ACK = 90{^\circ}$

$\left. \Rightarrow AC\bot CK \right.$

Mà $BH\bot AC$nên $BH \parallel CK$

Tương tự $CH \parallel BK$

Suy ra $BHCK$ là hình bình hành

Khi đó $H,\,\, M,\,\, K$ thẳng hàng và $M$ là trung điểm của $HK$

Ta có: $\left. \angle ANK = 90{^\circ}\Rightarrow\angle SNK = 90{^\circ} \right.$

Do đó $S,\,\, N,\,\, K$ thuộc đường tròn đường kính $SK$

Tương tự $S,\,\, M,\,\, K$ cũng thuộc đường tròn đường kính $SK$

Suy ra $S,\,\, M,\,\, N,\,\, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SK$

Gọi $I$ là giao điểm của $OK,\,\, SM$

Khi đó $\angle MOK = \angle PAK = \angle PNK = \angle MSK$

Nên $\Delta OMI \backsim \Delta SKI\,\,\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{IM}{IK} = \dfrac{SK}{SI} \right. \\ \left. \Rightarrow\Delta IMK \backsim \Delta IOS\left( {c.g.c} \right) \right. \\ \left. \Rightarrow\angle IOS = \angle IMK = 90{^\circ} \right. \\ \left. \Rightarrow SO\bot OK \right. \end{array}$

Do đó $SO$ là trung trực của $AK$

Suy ra $SA = SK$

Mà $SK = SH$ nên $SH = SA$

Vậy $\Delta SAH$ cân tại $S$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link