Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} + xy + y^{2} = x^{2}y^{2}$.

Câu hỏi số 787060:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787060

Phương pháp giải

Từ $\left| x \middle| \geq 2 \right.$ và $\left| y \middle| \geq 2 \right.$ ta có: $x^{2}y^{2} \geq 4x^{2};x^{2}y^{2} \geq 4y^{2}$. Suy ra $x^{2}y^{2} \geq x^{2} + y^{2} + x^{2} + y^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy $\left. x^{2}y^{2} \geq x^{2} + y^{2} + 2 \middle| xy \middle| > x^{2} + y^{2} + xy. \right.$

Giải chi tiết

Với $\left| x \middle| \geq 2 \right.$ và $\left| y \middle| \geq 2 \right.$ ta có: $x^{2}y^{2} \geq 4x^{2};x^{2}y^{2} \geq 4y^{2}$

$x^{2}y^{2} \geq 2\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = x^{2} + y^{2} + x^{2} + y^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: $\left. x^{2} + y^{2} \geq 2 \middle| xy \right|$

Suy ra $\left. x^{2}y^{2} \geq x^{2} + y^{2} + 2 \middle| xy \middle| > x^{2} + y^{2} + xy. \right.$

Vậy $\left| x \middle| \leq 2 \right.$ hoặc $\left| y \middle| \leq 2 \right.$

Nếu $x = - 2$ hoặc $x = 2$ thì phương trình không có nghiệm nguyên.

Nếu $x = 0$ thì $y^{2} = 0$ hay $y = 0$

Nếu $x = 1$ thì $1 + y + y^{2} = y^{2}$ hay $y = - 1$

Nếu $x = - 1$ thì $1 - y + y^{2} = y^{2}$ hay $y = 1$

Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên là $(0;0),(1; - 1),( - 1;1)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link