Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x;y;z)$ thỏa mãn $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z + 1} + \dfrac{z}{x}

Câu hỏi số 787059:

Vận dụng

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x;y;z)$ thỏa mãn $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z + 1} + \dfrac{z}{x} = \dfrac{5}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787059

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z + 1} + \dfrac{z + 1}{x} \geq 3$ suy ra $x \leq 2$.

Xét từng trường hợp $x = 1$ và $x = 2$ để tìm y, z.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z + 1} + \dfrac{z + 1}{x} \geq 3\sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{z + 1} \cdot \dfrac{z + 1}{x}} = 3$

Suy ra $\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{2}$ hay $x \leq 2$. Do $x$ nguyên dương nên ta được $x = 1$ và $x = 2$

- Với $x = 2$, khi đó trong bất đẳng thức trên phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z + 1} = \dfrac{z + 1}{x} = 1$

Khi đó $x = y = 2;z = 1$

- Với $x = 1$, khi đó phương trình đã cho trở thành $\dfrac{1}{y} + \dfrac{y}{z + 1} + z = \dfrac{5}{2}$

Khi đó $z \leq \dfrac{1}{y} + \dfrac{y}{z + 1} + z = \dfrac{5}{2}$ suy ra $z \leq 2$

+ Với $z = 1$ thay vào phương trình trên ta được $\left. y^{2} - 3y + 2 = 0\Leftrightarrow y = 1;y = 2 \right.$

+ Với $\text{z} = 2$ thay vào phương trình trên ta được $2\text{y}^{2} - 3\text{y} + 6 = 0$

Phương trình này có biệt thức $\Delta = - 39 < 0$ nên không có nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là $(x;y;z) = (2;2;1),(1;1;1),(1;2;1)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link