Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,{\mkern 1mu} z$ thỏa mãn$x^{3} + y^{3} + z^{3} = {(x + y +

Câu hỏi số 787061:

Vận dụng

Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,{\mkern 1mu} z$ thỏa mãn$x^{3} + y^{3} + z^{3} = {(x + y + z)}^{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787061

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} \geq \left( \dfrac{x + y + z}{3} \right)^{3}$để có $x + y + z \leq 9$.

Khi đó $x + y + z \in \left\{ 6;7;8 \right\}$. Kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được $x,y,{\mkern 1mu} z$

Giải chi tiết

Vì vai trò của $x,y,{\mkern 1mu} z$ như nhau nên có thể giả sử $x < y < z$.

Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} \geq \left( \dfrac{x + y + z}{3} \right)^{3}$ ta có $\dfrac{{(x + y + z)}^{2}}{3} \geq \left( \dfrac{x + y + z}{3} \right)^{3}$

Suy ra $9{(x + y + z)}^{2} \geq \left( {x + y + z} \right)^{3}$

Vì $x;y;z \geq 0$ nên $x + y + z \leq 9$.

Dấu bằng không xảy ra vì $x,y,{\mkern 1mu} z$ đôi một khác nhau.

Do đó ta được $x + y + z \leq 8$

Mặt khác $x,y,{\mkern 1mu} z$ là các số nguyên dương khác nhau nên $x + y + z \geq 1 + 2 + 3 = 6$

Từ đó ta được $6 \leq x + y + z \leq 8$ nên ta suy ra $x + y + z \in \left\{ 6;7;8 \right\}$

Kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được $(x;y;z) = (1;2;3)$

Vậy bộ ba số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán là $(x;y;z) = (1;2;3)$ và các hoán vị của bộ ba số này.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link