Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: $3\left( {x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2} \right) = 2\left(

Câu hỏi số 787062:

Vận dụng

Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:

$3\left( {x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2} \right) = 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787062

Phương pháp giải

Từ $3\left( {x^{2} + x + 1} \right) \geq x^{2} - x + 1$ suy ra $x^{4} + x^{2} + 1 \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2}$; $y^{4} + y^{2} + 1 \geq \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}$.

Từ đó ta có $x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2 \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} + \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2} \geq \dfrac{1}{3} \cdot 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$.

Khi đó $VT \geq VP$.

Giải chi tiết

Ta có ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ nên $2x^{2} + 4x + 2 \geq 0$ suy ra $3\left( {x^{2} + x + 1} \right) \geq x^{2} - x + 1$.

Do $x^{4} + x^{2} + 1 = \left( {x^{2} + 1} \right)^{2} - x^{2} = \left( {x^{2} + x + 1} \right)\left( {x^{2} - x + 1} \right) \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2}$ (*)

Tương tự ta cũng có $y^{4} + y^{2} + 1 \geq \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}$(**)

Cộng theo vế của (*) và (**) ta có:

$x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2 \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} + \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}$

$x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2 \geq \dfrac{1}{3}\left\lbrack {\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} + \left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}} \right\rbrack \geq \dfrac{1}{3} \cdot 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$

$3\left( {x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2} \right) \geq 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link