Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: $3\left( {x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2} \right) = 2\left(

Câu hỏi số 787062:

Vận dụng

Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:

$3\left( {x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2} \right) = 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787062

Phương pháp giải

Từ $3\left( {x^{2} + x + 1} \right) \geq x^{2} - x + 1$ suy ra $x^{4} + x^{2} + 1 \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2}$; $y^{4} + y^{2} + 1 \geq \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}$.

Từ đó ta có $x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2 \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} + \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2} \geq \dfrac{1}{3} \cdot 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$.

Khi đó $VT \geq VP$.

Giải chi tiết

Ta có ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ nên $2x^{2} + 4x + 2 \geq 0$ suy ra $3\left( {x^{2} + x + 1} \right) \geq x^{2} - x + 1$.

Do $x^{4} + x^{2} + 1 = \left( {x^{2} + 1} \right)^{2} - x^{2} = \left( {x^{2} + x + 1} \right)\left( {x^{2} - x + 1} \right) \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2}$ (*)

Tương tự ta cũng có $y^{4} + y^{2} + 1 \geq \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}$(**)

Cộng theo vế của (*) và (**) ta có:

$x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2 \geq \dfrac{1}{3}\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} + \dfrac{1}{3}\left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}$

$x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2 \geq \dfrac{1}{3}\left\lbrack {\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} + \left( {y^{2} - y + 1} \right)^{2}} \right\rbrack \geq \dfrac{1}{3} \cdot 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$

$3\left( {x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2} \right) \geq 2\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} - y + 1} \right)$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link