Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn

Câu hỏi số 787189:

Vận dụng

Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn xoay được đúc bằng chất liệu đồng, khuôn đúc của nó được tạo thành khi quay miền $(H)$ phần được tô màu trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$. Miền $(H)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,\,\, AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính 1cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,\,\, AB$. Biết công thức tính khối lượng của một vật là $P = V.D$, trong đó $P$ là khối lượng của vật (đơn vị g), $V$ là thể tích của vật (đơn vị $cm^{3}$) và $D$ là khối lượng riêng của vật (đơn vị $g/cm^{3}$), khối lượng riêng của đồng là $D = 8,96g/cm^{3}$. Giá đồng trên thị trường là $200.000$đ/kg. Giá tiền vật liệu để đúc một núm đồng trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787189

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ viết các phương trình đường tròn

Tính thể tích bằng tích phân

Giải chi tiết

Xét hệ trục tọa độ như hình

Gọi $E,\,\, F$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\, AB$

Khi đó $E\left( {0;1} \right),\,\, F\left( {1;0} \right)$

Phương trình đường tròn có tâm $E\left( {0;1} \right)$ và đường kính $AD = 2$ là $x^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} = 1$

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm $E$ là $y = 1 + \sqrt{1 - x^{2}}$

Phương trình đường tròn tâm $F\left( {1;0} \right)$ và đường kính $AB = 2$ là $\left( {x - 1} \right)^{2} + y^{2} = 1$

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm $F$ là $y = \sqrt{1 - \left( {x - 1} \right)^{2}}$

Thể tích vật trang trí là $V = \pi{\int\limits_{0}^{1}{\left( {1 + \sqrt{1 - x^{2}}} \right)^{2}dx}} + \pi{\int\limits_{1}^{2}{\left( {1 - \left( {x - 1} \right)^{2}} \right)dx}}$

Khi đó $P = 8,96V$

Giá tiền để đúc một núm đồng trên là

$\left\lbrack {\pi{\int\limits_{0}^{1}{\left( {1 + \sqrt{1 - x^{2}}} \right)^{2}dx}} + \pi{\int\limits_{1}^{2}{\left( {1 - \left( {x - 1} \right)^{2}} \right)dx}}} \right\rbrack.\dfrac{8,96}{1000}.200000 \approx 22$ (nghìn đồng)

Đáp án cần điền là: 22

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.