Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn $x\left( {1 + x + x^{2}} \right) = 4y\left( {y - 1} \right)$

Câu hỏi số 787381:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787381

Phương pháp giải

Viết phương trình đã cho về dạng $(x + 1)\left( {x^{2} + 1} \right) = {(2y - 1)}^{2}$ . Từ đó suy ra $x \geq 0$ và $x$ chẵn.

Chứng minh $\left( {x + 1;x^{2} + 1} \right) = 1$ nên $(x + 1)$ và $\left( {x^{2} + 1} \right)$cũng là hai số chính phương.

Từ đó $x^{2} + 1 = {(x + 1)}^{2}$ hay $x = 0$ rồi suy ra y.

Giải chi tiết

Ta có: $x\left( {1 + x + x^{2}} \right) = 4y(y - 1)$

$\left( {x^{3} + x^{2}} \right) + x + 1 = 4y^{2} - 4y + 1$

$(x + 1)\left( {x^{2} + 1} \right) = {(2y - 1)}^{2}$ (1)

Vì $x,y \in {\mathbb{Z}}$; ${(2y - 1)}^{2} > 0$ nên từ (1) suy ra $x \geq 0$ và $x$ chẵn.

Giả sử $\left( {x + 1;x^{2} + 1} \right) = d$ suy ra $d$ lẻ và $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 1 \vdots d} \\ {x^{2} + 1 \vdots d} \end{array} \right.$ suy ra $\left( {x^{2} + 1} \right) - \left( {x^{2} - 1} \right) = 2 \vdots d$ hay $d = 1$

Vì $(x + 1)\left( {x^{2} + 1} \right)$ là số chính phương mà $\left( {x + 1;x^{2} + 1} \right) = 1$ nên $(x + 1)$ và $\left( {x^{2} + 1} \right)$cũng là hai số chính phương.

Do $x \geq 0$ nên $x^{2} < x^{2} + 1 \leq {(x + 1)}^{2}$ suy ra $x^{2} + 1 = {(x + 1)}^{2}$ hay $x = 0$

Khi đó $4y(y - 1) = 0$ suy ra $y = 0$ hoặc $y = 1$

Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn là $(x;y) = (0;0);(0;1)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link