Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn $x\left( {1 + x + x^{2}} \right) = 4y\left( {y - 1} \right)$

Câu hỏi số 787381:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787381

Phương pháp giải

Viết phương trình đã cho về dạng $(x + 1)\left( {x^{2} + 1} \right) = {(2y - 1)}^{2}$ . Từ đó suy ra $x \geq 0$ và $x$ chẵn.

Chứng minh $\left( {x + 1;x^{2} + 1} \right) = 1$ nên $(x + 1)$ và $\left( {x^{2} + 1} \right)$cũng là hai số chính phương.

Từ đó $x^{2} + 1 = {(x + 1)}^{2}$ hay $x = 0$ rồi suy ra y.

Giải chi tiết

Ta có: $x\left( {1 + x + x^{2}} \right) = 4y(y - 1)$

$\left( {x^{3} + x^{2}} \right) + x + 1 = 4y^{2} - 4y + 1$

$(x + 1)\left( {x^{2} + 1} \right) = {(2y - 1)}^{2}$ (1)

Vì $x,y \in {\mathbb{Z}}$; ${(2y - 1)}^{2} > 0$ nên từ (1) suy ra $x \geq 0$ và $x$ chẵn.

Giả sử $\left( {x + 1;x^{2} + 1} \right) = d$ suy ra $d$ lẻ và $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 1 \vdots d} \\ {x^{2} + 1 \vdots d} \end{array} \right.$ suy ra $\left( {x^{2} + 1} \right) - \left( {x^{2} - 1} \right) = 2 \vdots d$ hay $d = 1$

Vì $(x + 1)\left( {x^{2} + 1} \right)$ là số chính phương mà $\left( {x + 1;x^{2} + 1} \right) = 1$ nên $(x + 1)$ và $\left( {x^{2} + 1} \right)$cũng là hai số chính phương.

Do $x \geq 0$ nên $x^{2} < x^{2} + 1 \leq {(x + 1)}^{2}$ suy ra $x^{2} + 1 = {(x + 1)}^{2}$ hay $x = 0$

Khi đó $4y(y - 1) = 0$ suy ra $y = 0$ hoặc $y = 1$

Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn là $(x;y) = (0;0);(0;1)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link