Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn $\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} + xy} \right) = 3x -

Câu hỏi số 787380:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn $\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} + xy} \right) = 3x - 1$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787380

Phương pháp giải

Ta nhận thấy $3x - 1$ phải chia hết cho $\left( {x^{2} - x + 1} \right)$ nên $(3x - 1)(3x - 2) = 9\left( {x^{2} - x + 1} \right) - 7$ suy ra 7 chia hết cho $\left( {x^{2} - x + 1} \right)$. Xét các trường hợp thoả mãn để tìm x, sau đó thế vào phương trình ban đầu để tìm y.

Giải chi tiết

Từ biểu thức $\left( {x^{2} - x + 1} \right)\left( {y^{2} + xy} \right) = 3x - 1$ ta nhận thấy $3x - 1$ phải chia hết cho $\left( {x^{2} - x + 1} \right)$

Suy ra $(3x - 1)(3x - 2) = 9x^{2} - 9x + 2 = 9\left( {x^{2} - x + 1} \right) - 7$cũng phải chia hết cho $\left( {x^{2} - x + 1} \right)$

Do đó 7 chia hết cho $\left( {x^{2} - x + 1} \right)$

Mà $x^{2} - x + 1 > 0$ với mọi x nên $x^{2} - x + 1 = 1$ hoặc $x^{2} - x + 1 = 7$

TH1: $x^{2} - x + 1 = 1$

$x^{2} - x = 0$

$x\left( {x - 1} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 1$

Với $x = 0$ ta có: $y^{2} = - 1$ (vô nghiệm)

Với $x = 1$ ta có: $y^{2} + y = 2$ suy ra $y = - 2$ hoặc $y = 1$

TH2: $x^{2} - x + 1 = 7$

$x^{2} - x - 6 = 0$

$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 3$ hoặc $x = - 2$

Với $x = 3$ ta có: $7\left( {y^{2} + 3y} \right) = 8$ suy ra $7\left( {y^{2} + 3y} \right) = 8$.

Vì vế trái chia hết cho 7 nhưng vế phải không chia hết cho 7 nên phương trình không có nghiệm nguyên.

Với $x = - 2$ ta có: $7\left( {y^{2} - 2y} \right) = - 7$ suy ra $y^{2} - 2y + 1 = 0$ hay $y = 1$

Vậy có 3 cặp số$(x,y)$ thoả mãn là $(1,1),(1, - 2)$và $( - 2,1)$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link