Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 7\left( {x + 2y}

Câu hỏi số 787382:

Vận dụng

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 7\left( {x + 2y} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787382

Phương pháp giải

Vì $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) \vdots 5$ nên $7(x + 2y) \vdots 5$ suy ra$(x + 2y) \vdots 5$. Đặt $x + 2y = 5t$$(t \in {\mathbb{Z}})$ rồi viết phương trình đã cho thành phương trình ẩn y, t. Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm t. Từ đó tìm x, y.

Giải chi tiết

Ta có: $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 7(x + 2y)$

Vì $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) \vdots 5$ nên $7(x + 2y) \vdots 5$ suy ra$(x + 2y) \vdots 5$.

Đặt $x + 2y = 5t$$(t \in {\mathbb{Z}})$ (2) thì (1) trở thành $x^{2} + xy + y^{2} = 7t$ (3)

Từ $(2)$ suy ra $x = 5t - 2y$

Thay vào (3) ta được $3y^{2} - 15ty + 25t^{2} - 7t = 0$(*), coi đây là phương trình bậc hai đối với y

Để (*) có nghiệm thì $\Delta \geq 0$ hay $84t - 75t^{2} \geq 0$. Suy ra $0 \leq t \leq \dfrac{28}{25}$

Vì $t \in {\mathbb{Z}}$ nên $t = 0$ hoặc $t = 1$

Thay $t = 0$ vào (*) ta được: $3y^{2} = 0$suy ra$y = 0$

Do đó $x = 0$

Thay $t = 1$ vào (*) ta được: $3y^{2} - 15y + 18 = 0$

Suy ra $y = 3$ hoặc $y = 2$

Với $y = 3$ thì $x = - 1$

Với $y = 2$thì $x = 1$

Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên $(x,y)$ là $(0;0),( - 1;3)$ và $(1;2)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link