Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 7\left( {x + 2y}

Câu hỏi số 787382:

Vận dụng

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 7\left( {x + 2y} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787382

Phương pháp giải

Vì $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) \vdots 5$ nên $7(x + 2y) \vdots 5$ suy ra$(x + 2y) \vdots 5$. Đặt $x + 2y = 5t$$(t \in {\mathbb{Z}})$ rồi viết phương trình đã cho thành phương trình ẩn y, t. Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm t. Từ đó tìm x, y.

Giải chi tiết

Ta có: $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 7(x + 2y)$

Vì $5\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) \vdots 5$ nên $7(x + 2y) \vdots 5$ suy ra$(x + 2y) \vdots 5$.

Đặt $x + 2y = 5t$$(t \in {\mathbb{Z}})$ (2) thì (1) trở thành $x^{2} + xy + y^{2} = 7t$ (3)

Từ $(2)$ suy ra $x = 5t - 2y$

Thay vào (3) ta được $3y^{2} - 15ty + 25t^{2} - 7t = 0$(*), coi đây là phương trình bậc hai đối với y

Để (*) có nghiệm thì $\Delta \geq 0$ hay $84t - 75t^{2} \geq 0$. Suy ra $0 \leq t \leq \dfrac{28}{25}$

Vì $t \in {\mathbb{Z}}$ nên $t = 0$ hoặc $t = 1$

Thay $t = 0$ vào (*) ta được: $3y^{2} = 0$suy ra$y = 0$

Do đó $x = 0$

Thay $t = 1$ vào (*) ta được: $3y^{2} - 15y + 18 = 0$

Suy ra $y = 3$ hoặc $y = 2$

Với $y = 3$ thì $x = - 1$

Với $y = 2$thì $x = 1$

Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên $(x,y)$ là $(0;0),( - 1;3)$ và $(1;2)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link