Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x + y + z + 9 = xyz$ là:

Câu hỏi số 787386:

Vận dụng

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787386

Phương pháp giải

Từ$x + y + z + 9 = xyz$ ta có $\dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xz} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{9}{xyz} = 1$. Giả sử: $1 \leq x \leq y \leq z$suy ra $x^{2} \leq 12$ nên $x \in \left\{ 1;2;3 \right\}$. Thử chọn để tìm nghiệm.

Giải chi tiết

Vì $x + y + z + 9 = xyz$ và $x,y,z > 0$ nên $\dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xz} + \dfrac{1}{xy} + \dfrac{9}{xyz} = 1$

Giả sừ: $1 \leq x \leq y \leq z$. Khi đó $1 \leq \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{9}{x^{2}} = \dfrac{12}{x^{2}}$

Suy ra $x^{2} \leq 12$ nên $x \in \left\{ 1;2;3 \right\}$

Với $x = 1$ thì $y + z + 10 = yz$ hay $\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) = 11$. Suy ra $y = 2;z = 12$

Với $x = 2$ thì $y + z + 11 = 2yz$ hay $2y + 2z + 22 = 4yz$ hay $\left( {2y - 1} \right)\left( {2z - 1} \right) = 23$. Suy ra $y = 1;z = 12$(loại)

Với $x = 3$ thì $y + z + 12 = 3yz$ hay $3y + 3z + 36 = 9yz$ hay $\left( {3y - 1} \right)\left( {3z - 1} \right) = 37$. Không có nghiệm nguyên.

Vậy nghiệm của phương trình là: $\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;2;12} \right)$ và các hoán vị.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link