Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}y^{2} - xy = x^{2} + 2y^{2}$

Câu hỏi số 787402:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787402

Phương pháp giải

Coi phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x. Tính $\Delta$ theo y, tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm. Từ đó tìm x, y.

Giải chi tiết

Phương trình đã cho viết lại: $\left( {x^{2} - 2} \right)y^{2} - xy - x^{2} = 0\quad(2)$

Do $x$ nguyên nên $\left( {x^{2} - 2} \right) \neq 0$ coi phương trình (2) là phương trình ẩn $y$ tham số $x$ ta có:

$\Delta = x^{2} + 4x^{2}\left( {x^{2} - 2} \right) = x^{2}\left( {4x^{2} - 7} \right)$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương.

-Xét $\text{x} = 0$ thì tự (1) suy ra $\text{y} = 0$.

-Xét $x \neq 0$ thì $\left( {4x^{2} - 7} \right)$ phải là số chính phương do đó $4x^{2} - 7 = m^{2}$ với $m$ là số nguyên, ta có $(2x - m)(2x + m) = 7$ ta tìm được $x = 2$ hoặc $x = - 2$

Với $x = 2$ thay vào (2) ta được: ${y^2} - y - 2 = 0 \Rightarrow y \in \left\{ { - 1;2} \right\}$.

Với $x = - 2$ thay vào (2) ta được: ${y^2} + y - 2 = 0 \Rightarrow y \in \left\{ {1; - 2} \right\}$.

Nghiệm nguyên của phương trình là $(x,y) = (0,0);(2, - 1);(2,2);( - 2,1);( - 2, - 2)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link