Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ hai tiếp

Câu hỏi số 787679:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,$$MB$ với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm). Đoạn thẳng $OM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $H$ và cắt đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại điểm $I$.

a) Chứng minh bốn điểm $M$,$A$,$B$,$O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính $AD$ của $\left( {O;R} \right)$. Đoạn thẳng $MD$ cắt đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại điểm $C$ khác $D$. Chứng minh $MA^{2} = MH.MO = MC.MD$.

c) Chứng minh $IH.IO = IM.OH$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787679

Phương pháp giải

a) Vì $MA$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại $A$nên $\angle MAO = 90{^\circ}$

$\Rightarrow$$A$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ $(1)$

Vì $MB$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại $B$nên $\angle MBO = 90{^\circ}$

$\Rightarrow$$B$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ $(2)$

Từ đó kết luận bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta MAH \backsim \Delta MOA$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{MA}{MO} = \dfrac{MH}{MA}$ (tính chất tam giác đồng dạng) hay $MA^{2} = MO.MH$

Chứng minh $\Delta MAD \backsim \Delta MCA$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MD}{MA}$ (tính chất tam giác đồng dạng) hay $MA^{2} = MC.MD$

Từ đó kết luận điều phải chứng minh.

c) Chứng minh $\Delta OAH \backsim \Delta OMA$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{OA}{MO} = \dfrac{OH}{OA}$ (tính chất tam giác đồng dạng) hay $OA^{2} = MO.OH$

Biến đổi để có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Vì $MA$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại $A$nên $\angle MAO = 90{^\circ}$

Suy ra $A$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ $(1)$

Vì $MB$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại $B$nên $\angle MBO = 90{^\circ}$

Suy ra $B$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra bốn điểm $M$; $A$ ; $O$ ; $B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$.

b) Vì $MA$; $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$, $B$ nên $MA = MB$

Mà $OA = OB = R$

Nên $OM$ là đường trung trực của $AB$.

Khi đó $OM\bot AB$ tại $H$ hay $\angle AHM = 90^{{^\circ}}$

Xét $\Delta MAH$ và $\Delta MOA$ có :

$\angle AHM = \angle OAM = 90^{{^\circ}}$

$\angle AMO$ chung

$\left. \Rightarrow\Delta MAH \backsim \Delta MOA \right.$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{MA}{MO} = \dfrac{MH}{MA}$ (tính chất tam giác đồng dạng) hay $MA^{2} = MO.MH$ $(3)$

Vì AD là đường kính của $(O)$ nên $\angle ACD = 90^{{^\circ}}$

Xét $\Delta MAD$ và $\Delta MCA$ có:

$\angle DAM = \angle ACM = 90^{{^\circ}}$

$\angle AMD$ chung

$\left. \Rightarrow\Delta MAD \backsim \Delta MCA \right.$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MD}{MA}$ (tính chất tam giác đồng dạng) hay $MA^{2} = MC.MD$ $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $MA^{2} = MH.MO = MC.MD$.

c) Xét $\Delta OAH$ và $\Delta OMA$ có :

$\angle OAM = \angle AHO = 90^{{^\circ}}$

$\angle AOM$ chung

$\left. \Rightarrow\Delta OAH \backsim \Delta OMA \right.$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{OA}{MO} = \dfrac{OH}{OA}$ (tính chất tam giác đồng dạng)

Hay $OA^{2} = MO.OH$

$OI^{2} = OM.OH$(do $OA = OI = R$)

$OI^{2} - OI.OH = OM.OH - OI.OH$

$OI.\left( {OI - OH} \right) = OH\left( {OM - OI} \right)$

$OI.IH = OH.MI$ (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link