Cho đường tròn (O) đường kính BD = 2R, trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) lấy điểm A

Câu hỏi số 787700:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) đường kính BD = 2R, trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) lấy điểm A sao cho BA = R. Từ A vẽ tiếp tuyến AC của (O) (C là tiếp điểm và C khác B). Một đường thẳng qua C lần lượt cắt tia BA và tia BO tại M và N. Vẽ BH vuông góc MN tại H.

a) Chứng minh OBAC là hình vuông và 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AM.ON = R^{2}$.

c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng $\dfrac{9R^{2}}{4}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787700

Phương pháp giải

a) Chứng minh OBAC là hình vuông

Chứng minh tứ giác OBAC là hình thoi có 1 góc vuông nên tứ giác OBAC là hình vuông.

Chứng minh 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn

OBAC là hình vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính là đường chéo của hình vuông.

Chứng minh tam giác BHC vuông tại H nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh $AM.ON = R^{2}$

Chứng minh AC // BN (cùng vuông góc với AB) nên $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{AC}{BN}$ suy ra $MA = \dfrac{MB.AC}{BN}$

Chứng minh OC // BM (cùng vuông góc với BD) nên $\dfrac{NO}{NB} = \dfrac{OC}{BM}$ suy ra $NO = \dfrac{OC.NB}{BM}$

Suy ra $AM.ON = R^{2}$

c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng $\dfrac{9R^{2}}{4}$

Vì diện tích tam giác MBN bằng $\dfrac{9R^{2}}{4}$ nên biểu diễn $S_{\Delta MBN} = \dfrac{1}{2}BM.BN = \dfrac{9R^{2}}{4}$.

Biến đổi để xuất hiện $AM + ON$ theo $R$.

Kết hợp với $AM.ON = R^{2}$ nên $ON = \dfrac{R^{2}}{AM}$

Ta tính được $AM$.

Từ đó tính $ON$ theo $AM$.

Giải chi tiết

a) Chứng minh OBAC là hình vuông

Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OC (= R)

BA = R (gt)

suy ra AB = AC = OB = OC (= R)

nên tứ giác OBAC là hình thoi

Mà $\angle ABO = 90{^\circ}$ (vì AB là tiếp tuyến của (O) nên $AB\bot OB$)

Do đó tứ giác OBAC là hình vuông.

Chứng minh 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc một đường tròn

Vì OBAC là hình vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính BC nên 4 điểm O, B, A, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Mà $\angle BHC = 90{^\circ}$ nên tam giác BHC vuông tại H, do đó điểm H thuộc đường tròn đường kính BC.

Vậy 5 điểm O, B, A, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh $AM.ON = R^{2}$

Vì tứ giác OBAC là hình vuông nên $\angle BAC = 90{^\circ}$, suy ra $AC\bot AB$.

Mà $AB\bot OB$ (vì AB là tiếp tuyến của (O))

Do đó AC // OB (cùng vuông góc với AB) hay AC // BN, suy ra $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{AC}{BN}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Suy ra $MA = \dfrac{MB.AC}{BN}$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được OC // BM (cùng vuông góc với BD), suy ra $\dfrac{NO}{NB} = \dfrac{OC}{BM}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Suy ra $NO = \dfrac{OC.NB}{BM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MA.NO = \dfrac{MB.AC}{BN}.\dfrac{OC.NB}{BM} = AC.OC = R.R = R^{2}$

c) Tính độ dài AM và ON theo R biết diện tích tam giác MBN bằng $\dfrac{9R^{2}}{4}$

Vì diện tích tam giác MBN bằng $\dfrac{9R^{2}}{4}$ nên ta có:

$\begin{array}{l} {S_{\Delta MBN} = \dfrac{9R^{2}}{4}} \\ {\dfrac{1}{2}BM.BN = \dfrac{9R^{2}}{4}} \\ {BM.BN = \dfrac{9R^{2}}{2}} \\ {\left( {BA + AM} \right)\left( {BO + ON} \right) = \dfrac{9R^{2}}{2}} \\ {\left( {R + AM} \right)\left( {R + ON} \right) = \dfrac{9R^{2}}{2}} \\ {R^{2} + R.AM + R.ON + AM.ON = \dfrac{9R^{2}}{2}} \\ {R^{2} + R.AM + R.ON + R^{2} = \dfrac{9R^{2}}{2}} \\ {R\left( {AM + ON} \right) = \dfrac{9R^{2}}{2} - R^{2} - R^{2}} \\ {R\left( {AM + ON} \right) = \dfrac{5R^{2}}{2}} \\ {AM + ON = \dfrac{5R}{2}\,\,(3)} \end{array}$

Mà $AM.ON = R^{2}$ nên $ON = \dfrac{R^{2}}{AM}$ (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

$\begin{array}{l} {AM + \dfrac{R^{2}}{AM} = \dfrac{5R}{2}} \\ {2AM^{2} + 2R^{2} = 5R.AM} \\ {2AM^{2} - 4R.AM - R.AM + 2R^{2} = 0} \\ {2AM\left( {AM - 2R} \right) - R\left( {AM - 2R} \right) = 0} \\ {\left( {2AM - R} \right)\left( {AM - 2R} \right) = 0} \end{array}$

$2AM - R = 0$ hoặc $AM - 2R = 0$

$AM = \dfrac{R}{2}$ hoặc $AM = 2R$

+ Với $AM = \dfrac{R}{2}$ thì $ON = R^{2}:\dfrac{R}{2} = 2R$

+ Với $AM = 2R$ thì $ON = R^{2}:\left( {2R} \right) = \dfrac{R}{2}$

Vậy $AM = \dfrac{R}{2};ON = 2R$ hoặc $AM = 2R;ON = \dfrac{R}{2}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link