Cho phương trình bậc hai $\sqrt{3}x^{2} - 2x - \sqrt{3} = 0$a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm

Câu hỏi số 787702:

Thông hiểu

Cho phương trình bậc hai $\sqrt{3}x^{2} - 2x - \sqrt{3} = 0$

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $C = 2\sqrt{3}x_{1} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - \sqrt{3}(x_{1} - x_{2})$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787702

Phương pháp giải

a) Sử dụng $ac < 0$ để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Định lí Viète: $x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a};x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$.

Giải chi tiết

a) Phương trình$\sqrt{3}x^{2} - 2x - \sqrt{3} = 0$ có $a = \sqrt{3}$; $b = - 2$; $c = - \sqrt{3}$

Vì $a.c = \sqrt{3}.\left( {- \sqrt{3}} \right) = - 9 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) $C = 2\sqrt{3}x_{1} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - \sqrt{3}(x_{1} - x_{2})$

Áp dụng Viète, ta có: $x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$; $x_{1}.x_{2} = \dfrac{- \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = - 1$

Ta có: $C = 2\sqrt{3}x_{1} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - \sqrt{3}(x_{1} - x_{2})$

$\begin{array}{l} {C = 2\sqrt{3}x_{1} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - \sqrt{3}x_{1} + \sqrt{3}x_{2}} \\ {C = \sqrt{3}x_{1} + \sqrt{3}x_{2} - \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right)} \\ {C = \sqrt{3}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - \left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}} \right\rbrack} \\ {C = \sqrt{3}.\dfrac{2}{\sqrt{3}} - \left\lbrack {\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{2} - 2.\left( {- 1} \right)} \right\rbrack} \\ {C = 2 - \dfrac{4}{3} - 2} \\ {C = - \dfrac{4}{3}} \end{array}$

Vậy $C = - \dfrac{4}{3}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link