Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là 2 tiếp điểm). Gọi H là
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. Vẽ cát tuyến MDC và (O), C nằm ngoài M và D. Gọi N là trung điểm CD.
a) Chứng minh MO $\bot$ AB và $MA^{2} = MO.MH$.
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM và MN là tia phân giác của $\angle ANB$.
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}}$.
Quảng cáo
a) Chứng minh MO $\bot$ AB
Chứng minh MO là đường trung trực của AB
Suy ra MO $\bot$ AB
Chứng minh $MA^{2} = MO.MH$
Chứng minh $\Delta AHM \backsim \Delta OAM(g.g)$
suy ra $MA^{2} = MO.MH$
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Chứng minh $\Delta MAO$, $\Delta MBO$, $\Delta ONM$ cùng thuộc đường tròn đường kính OM nên O, N, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Chứng minh MN là tia phân giác của $\angle ANB$
Dựa vào tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh $\angle AOM = \angle BOM$.
Suy ra $cung\, AM = cung\, BM$
nên $\angle ANM = \angle BNM$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Do đó NM là phân giác của $\angle ANB$.
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}}$.
Chứng minh $\Delta BHM \backsim \Delta OBM(g.g)$, suy ra $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}} = \left( \dfrac{BM}{OM} \right)^{2}$
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OBM để tính BM.
Thay số để tính $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}}$.
a) Chứng minh MO $\bot$ AB
Ta có:
MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB = R
Suy ra MO là đường trung trực của AB
Suy ra MO $\bot$ AB
Chứng minh $MA^{2} = MO.MH$
Xét $\Delta AHM$ và $\Delta OAM$ có:
$\angle AHM = \angle OAM = 90^{{^\circ}}$
$\angle OMA$ chung
nên $\Delta AHM \backsim \Delta OAM(g.g)$
suy ra $\dfrac{AM}{OM} = \dfrac{MH}{MA}$, do đó $MA^{2} = MO.MH$
b) Chứng minh O, A, M, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Vì $\Delta MAO$ vuông tại A (MA là tiếp tuyến) nên A, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO (1)
Vì $\Delta MBO$ vuông tại B (MB là tiếp tuyến) nên M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Xét $\Delta OCD$ cân tại O (OD = OC = R) có:
ON là đường trung tuyến (N là trung điểm của CD) nên $ON\bot CD$.
Vì $\Delta ONM$ vuông tại N nên O, N, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra O, N, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Chứng minh MN là tia phân giác của $\angle ANB$
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến nên OM là tia phân giác của $\angle AOB$, suy ra $\angle AOM = \angle BOM$.
Mà $\angle AOM$ là góc nội tiếp chắn cung AM, $\angle BOM$ là góc nội tiếp chắn cung BM của đường tròn đường kính OM nên $cung{\mkern 1mu} AM = cung{\mkern 1mu} BM$
suy ra $\angle ANM = \angle BNM$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Do đó NM là phân giác của $\angle ANB$.
c) Giả sử OA = R, OM = 2R . Tính $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}}$.
Xét $\Delta BHM$ và $\Delta OBM$ có:
$\angle BHM = \angle OBM = 90^{{^\circ}}$
$\angle OMB$ chung
nên $\Delta BHM \backsim \Delta OBM(g.g)$, suy ra $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}} = \left( \dfrac{BM}{OM} \right)^{2}$
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OBM, ta có:
$OB^{2} + BM^{2} = OM^{2}$, suy ra $BM^{2} = OM^{2} - OB^{2} = \left( {2R} \right)^{2} - R^{2} = 3R^{2}$, suy ra $BM = R\sqrt{3}$.
Do đó $\dfrac{S_{\Delta BHM}}{S_{\Delta OBM}} = \left( \dfrac{BM}{OM} \right)^{2} = \left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2\text{R}} \right)^{2} = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} = \dfrac{3}{4}$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
