Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang

Câu hỏi số 787884:

Vận dụng

Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 $dm^{3}$. Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787884

Phương pháp giải

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).

Biểu diễn diện tích S theo a.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Giải chi tiết

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).

Thùng gỗ là lăng trụ tứ giác đều nên đáy thùng là hình vuông có diện tích $a^{2}$ $\left( {dm^{2}} \right)$.

Thể tích lăng trụ là 62,5 $dm^{3}$ nên chiều cao là $h = \dfrac{62,5}{a^{2}}$ (dm).

Diện tích gỗ làm một chiếc thùng là:

$S = 4.\dfrac{62,5}{a^{2}}.a + a^{2} = \dfrac{250}{a} + a^{2} = \dfrac{125}{a} + \dfrac{125}{a} + a^{2}$ $\left( {dm^{2}} \right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $\dfrac{125}{a}$, $\dfrac{125}{a}$, $a^{2}$, ta có:

$S = \dfrac{125}{a} + \dfrac{125}{a} + a^{2} \geq 3.\sqrt[3]{\dfrac{125}{a}.\dfrac{125}{a}.a^{2}} = 75$.

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{125}{a} = a^{2}$, suy ra a = 5.

Vậy S nhỏ nhất bằng 75 $dm^{2}$ khi độ dài cạnh đáy là 5 dm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link