Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN
Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).
a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $BM^{2} = BK.BC$.
c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của $\Delta DEK$.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\angle AKC = \angle AEC = 90^{o}$ suy ra K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
b) Chứng minh $\Delta BMK \backsim \Delta BCM$ (g.g) rồi suy ra tỉ lệ thức.
c) Chứng minh C là giao điểm của hai đường phân giác trong $\Delta DEK$.
a) Vì K thuộc đường tròn đường kính AB nên $\angle AKC = 90^{o}$.
Theo giả thiết, $MN\bot AB$ nên $\angle AEC = 90^{o}$.
Vì $\angle AKC = \angle AEC = 90^{o}$ nên K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Vậy AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Vì AKCE là tứ giác nội tiếp nên $\angle KAE + \angle KCE = 180^{o}$.
Mặt khác, AKMB là tứ giác nội tiếp (O;R) nên $\angle KAE + \angle KMB = 180^{o}$.
Suy ra $\angle KCE = \angle KMB$ (cùng bù với $\angle KAE$); mà $\angle KCE = \angle MCB$ (góc đối đỉnh) nên $\angle KMB = \angle MCB\left( {= \angle KCE} \right)$.
Xét $\Delta BMK$ và $\Delta BCM$ có:
+ $\angle MBC$ chung;
+ $\angle KMB = \angle MCB$ (chứng minh trên).
Do đó $\Delta BMK \backsim \Delta BCM$ (g.g), suy ra $\dfrac{BM}{BC} = \dfrac{BK}{BM}$, như vậy $BM^{2} = BC.BK$.
c) Xét $\Delta IAB$ có hai đường cao BK, IE cắt nhau tại C, do đó C là trực tâm $\Delta IAB$.
Khi đó AD cũng là đường cao của $\Delta IAB$, hay $AD\bot IB$.
Vì $\angle ADB = 90^{o}$ nên D thuộc đường tròn đường kính AB, hay D thuộc (O;R).
Vì tứ giác AKDB nội tiếp (O;R) nên $\angle DKB = \angle DAB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Mà tứ giác AKCE nội tiếp (chứng minh trên) nên $\angle BKE = \angle DAB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Suy ra $\angle DKB = \angle BKE\left( {= \angle DAB} \right)$ hay KB là phân giác của $\angle DKE$.
Vì $\angle CDB = \angle CEB = 90^{o}$ nên D, E thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BDCE nội tiếp.
Khi đó $\angle EBC = \angle EDC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Mà tứ giác AKDB nội tiếp nên $\angle EBC = \angle CDK$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AK).
Suy ra $\angle EDC = \angle CDK\left( {= \angle EBC} \right)$ hay DC là phân giác của $\angle KDE$.
Xét $\Delta DEK$ có các đường phân giác góc $\angle DKE$, $\angle KDE$ cắt nhau tại C.
Do đó, C là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEK$, hay C cách đều các cạnh của $\Delta DEK$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
