Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $AB,\,\, CD$ cắt nhau tại $M$, các đường thẳng $AD,\,\, BC$
Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $AB,\,\, CD$ cắt nhau tại $M$, các đường thẳng $AD,\,\, BC$ cắt nhau tại $N$. Gọi $I,\,\, J,\,\, K$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\, BD,\,\, MN$. Chứng minh $I,\,\, J,\,\, K$ thẳng hàng
Quảng cáo
Gọi $A_{1},\,\, B_{1},\,\, C_{1}$ lần lượt là trung điểm của $NB,\,\, NA,\,\, AB$
Chứng minh $\dfrac{IC_{1}}{IB_{1}}.\dfrac{KB_{1}}{KA_{1}}.\dfrac{JA_{1}}{JC_{1}} = 1$ để suy ra $I,\,\, J,\,\, K$ thẳng hàng
Gọi $A_{1},\,\, B_{1},\,\, C_{1}$ lần lượt là trung điểm của $NB,\,\, NA,\,\, AB$
Ta có $A_{1}K$ là đường trung bình của tam giác $NBM$ nên $A_{1}K \parallel BM\,\,(1)$
Tương tự $B_{1}K \parallel BM\,\,(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $A_{1},\,\, B_{1},\,\, K$ thẳng hàng
Do đó $K \in A_{1}B_{1}$
Chứng minh tương tự $J \in A_{1}C_{1},\,\, I \in B_{1}C_{1}$
Ta có $IC_{1} = \dfrac{1}{2}BC,\,\, IB_{1} = \dfrac{1}{2}CN,\,\, KB_{1} = \dfrac{1}{2}AM,\,\, KA_{1} = \dfrac{1}{2}BM,\,\, JA_{1} = \dfrac{1}{2}DN,\,\, JC_{1} = \dfrac{1}{2}AD$
Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta NAB$ ta được $\dfrac{AM}{MB}.\dfrac{BC}{CN}.\dfrac{DN}{AD} = 1$
$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{BC}{CN}.\dfrac{AM}{BM}.\dfrac{DN}{DA} = 1 \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{IC_{1}}{IB_{1}}.\dfrac{KB_{1}}{KA_{1}}.\dfrac{JA_{1}}{JC_{1}} = 1 \right. \end{array}$
Theo định lí Menelaus ta được $I,\,\, J,\,\, K$ thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
