Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC,\,\, BD$ cắt nhau tại $O$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$

Câu hỏi số 789238:

Vận dụng

Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC,\,\, BD$ cắt nhau tại $O$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = \dfrac{1}{3}AB$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $MO$ cắt $AC$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $MO$ và $CD$. Chứng minh rằng $B,\,\, E,\,\, F$ thẳng hàng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789238

Phương pháp giải

Gọi $K$ là trung điểm của $DF$

Ta chứng minh $EF\bot OK$ hay chứng minh $EF$ là đường trung bình của $\Delta COK$

Hay chứng minh $E$ là trung điểm của $OC$

Giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $MO$ và $DE$

Khi đó $HO\bot DE$ tại $H$ hay $\Delta OHE$ vuông tại $H$

Suy ra $\angle HOE + \angle OEH = 90{^\circ}$

Mà $\angle MOA + \angle BOM = 90{^\circ},\,\,\angle HOE = \angle MOA$ nên $\angle OEH = \angle BOM$

Xét $\Delta MBO$ và $\Delta DAE$ có

$\begin{array}{l} {\angle MBO = \angle DAE\left( {= 45{^\circ}} \right)} \\ {\angle BOM = \angle AED} \\ \left. \Rightarrow\Delta MBO \backsim \Delta DAE \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{BO}{AE} = \dfrac{MB}{AD} \right. \end{array}$

Mà $AM + MB = AB,\,\, AM = \dfrac{1}{3}AB$ nên $MB = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{2}{3}AD\,\,\left( {do\,\, AB = AD} \right)$

Mặt khác $\left. AE = AO + OE,\,\, OA = OB\Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}\left( {OB + OE} \right)\Rightarrow OB = 2OE \right.$

Do đó $OE = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}OC$ hay $E$ là trung điểm của $OC$

Xét $\Delta COF$ và $\Delta AOM$ có

$\begin{array}{l} {\angle FOC = \angle MOA} \\ {OA = OC} \\ {\angle OCF = \angle OAM} \\ \left. \Rightarrow\Delta COF = \Delta AOM \right. \\ \left. \Rightarrow CF = AM \right. \end{array}$

Mà $AM = \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{1}{3}AD$ nên $\left. CF = \dfrac{1}{3}CD\Rightarrow FD = \dfrac{2}{3}CD \right.$

Gọi $K$ là trung điểm của $FD$

Khi đó $FK = KD = \dfrac{1}{2}FD = \dfrac{1}{3}CD$

Trong tam giác $BDF$ có $O$ là trung điểm của $BD$, $K$ là trung điểm của $FD$

Do đó $OK$ là đường trung bình của $\Delta BDF$

Suy ra $OK \parallel BF$

Tương tự $EF \parallel OK$

Theo tiên đề Euclid ta được $B,\,\, E,\,\, F$ thẳng hàng

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link