Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle B = 90{^\circ}$. Đường tròn đường kính $CD$ cắt $AB$
Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle B = 90{^\circ}$. Đường tròn đường kính $CD$ cắt $AB$ tại $M,\,\, N$ ($M$ nằm giữa $N,\,\, B$). Đường thẳng qua $A$ song song với $MC$ cắt đường thẳng qua $B$ song song với $MD$ tại $E$. Chứng minh $C,\,\, E,\,\, D$ thẳng hàng
Quảng cáo
Chứng minh $\Delta FCE \backsim \Delta MCD\,\,\left( {c.g.c} \right)$ suy ra $\angle FCE = \angle MCD$
Do đó $DE,\,\, DC$ trùng nhau hay $C,\,\, E,\,\, D$ thẳng hàng
Gọi $L$ là giao điểm của $AE$ và $MD$, $F$ là giao điểm của $MC$ và $BE$
Vì $\Delta MCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $CD$ nên ta được $\angle CMD = 90{^\circ}$
Vì $AE \parallel MC,\,\, CM\bot MD$ nên $AE\bot DM$
Do đó $\angle ALM = \angle MLE = 90{^\circ}$
Tương tự $\angle BFC = \angle EFM = 90{^\circ}$
Xét $\Delta BMC$ và $\Delta ADM$ có
$\begin{array}{l} {\angle MBC = \angle DAM} \\ {\angle BMC = \angle ADM} \\ \left. \Rightarrow\Delta BMC \backsim \Delta ADM \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{MC}{MD} = \dfrac{BC}{MA},\,\,\angle BCF = \angle AML \right. \end{array}$
Xét $\Delta BCF$ và $\Delta AML$ có
$\begin{array}{l} {\angle BFC = \angle ALM} \\ {\angle BCF = \angle AML} \\ \left. \Rightarrow\Delta BCF \backsim \Delta AML \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{BC}{AM} = \dfrac{FC}{ML} \right. \end{array}$
Tứ giác $MLEF$ có $\angle LMF = \angle EFM = \angle MLE = 90{^\circ}$ nên $MLEF$ là hình chữ nhật
Do đó $EF = ML$
Suy ra $\dfrac{FC}{EF} = \dfrac{FD}{ML} = \dfrac{BC}{MA} = \dfrac{MC}{MD}$ nên $\dfrac{FC}{MC} = \dfrac{EF}{MD}$
Xét $\Delta FCE$ và $\Delta MCD$ có
$\begin{array}{l} {\angle EFC = \angle CMD} \\ {\dfrac{FC}{MC} = \dfrac{EF}{MD}} \\ \left. \Rightarrow\Delta FCE \backsim \Delta MCD \right. \\ \left. \Rightarrow\angle FCE = \angle MCD \right. \end{array}$
Do đó $CE,\,\, CD$ trùng nhau
Hay $C,\,\, E,\,\, D$ thẳng hàng (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
