Nhà anh Hải có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật $ABCD$ (tham khảo hình vẽ), đợt này vừa có

Câu hỏi số 789671:

Vận dụng

Nhà anh Hải có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật $ABCD$ (tham khảo hình vẽ), đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí $M$ ở bờ $AB$ đến một vị trí $N$ ở bờ $AD$ và phải đi qua một cái cọc cố định đã cắm sẵn ở vị trí $E$.

Biết rằng khoảng cách từ cọc $E$ đến bờ $AB,AD$ lần lượt là 5 m và 12 m . Hỏi diện tích nhỏ nhất của phần góc ao $AMN$ mà anh Hải có thể quây được là bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789671

Phương pháp giải

Gọi khoảng cách từ $E$ đến AB, AD lần lượt là EH, EK.

Đặt $KN = x(m)$($x > 0$). Sử dụng tam giác đồng dạng để tính HM theo x.

Từ đó tính được diện tích tam giác AMN theo x. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để suy ra diện tích nhỏ nhất của góc ao AMN.

Giải chi tiết

Gọi khoảng cách từ $E$ đến AB, AD lần lượt là EH, EK.

Đặt $KN = x(m)$($x > 0$)

Hai tam giác vuông KEN, HME đồng dạng nên

$\dfrac{KE}{KN} = \dfrac{HM}{HE}$ hay $\dfrac{12}{x} = \dfrac{HM}{5}$ suy ra $HM = \dfrac{60}{x}(m)$

Diện tích tam giác AMN là:

$S_{AMN} = \dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {12 + \dfrac{60}{x}} \right) \cdot (5 + x) = \left( {6 + \dfrac{30}{x}} \right) \cdot (5 + x)$

$\quad = 30 + 6x + \dfrac{150}{x} + 30 = 60 + 6x + \dfrac{150}{x} \geq 60 + 2\sqrt{6x \cdot \dfrac{150}{x}} = 120$

Dấu “=” xảy ra khi $6x = \dfrac{150}{x}$ suy ra $\text{x} = 5$

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao $AMN$ mà anh Hải có thể quây được là $120m^{2}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link