Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ tiếp tuyến MA và MB ($\text{A},\text{B}$ là tiếp
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ tiếp tuyến MA và MB ($\text{A},\text{B}$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của $\left( \text{O} \right),\text{MC}$ cắt $\left( \text{O} \right)$ tại D . AB cắt OM tại H
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Chứng minh $\text{MH}.\text{MO} = \text{MC}.\text{MD}$
c) Hạ DK vuông góc với AC (K thuộc AC), DK cắt AB tại I . Chứng minh I là trung điểm DK
Quảng cáo
a) Vì $\widehat{\text{MAO}} = \widehat{\text{MBO}} = 90^{\circ}$ nên $\text{A},\text{B}$ thuộc đường tròn đường kính OM
b) Chứng minh $\Delta\text{AMO} \sim \text{ΔHMA~}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$; $\Delta\text{AMD} \sim \text{ΔCMA~}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$. Từ đó suy ra đpcm.
c) Chứng minh $\Delta\text{KAI} \sim \text{ΔMAO}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$; $\Delta\text{DAI} \sim \text{ΔCMO}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$ để có $\dfrac{\text{IK}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{ID}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OM}}$
Từ đó suy ra đpcm.
a) Vì $\text{MA},\text{MB}$ là tiếp tuyến của $\left( \text{O} \right)$ suy ra $\widehat{\text{MAO}} = \widehat{\text{MBO}} = 90^{\circ}$
Do đó $\text{A},\text{B}$ thuộc đường tròn đường kính OM
Vậy tứ giác MAOB nội tiếp
b) Ta có $\text{MA} = \text{MB}$ (Vì $\text{MA},\text{MB}$ là tiếp tuyến của $\left( \text{O} \right)$ ) $\text{OA} = \text{OB} = \text{R}$
Nên MO là trung trực AB suy ra $\text{MO}\bot\text{AB}$ tại H
Có $\widehat{\text{ADC}} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $\text{AD}\bot\text{MC}$
Xét $\text{Δ}AMO$ và $\Delta HMA$ có:
Góc M chung
$\widehat{\text{OAM}} = \widehat{\text{AHM}} = 90^{\circ}$
Suy ra $\text{ΔAMO} \sim \text{ΔHMA~}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$
Suy ra $\dfrac{\text{MA}}{\text{MH}} = \dfrac{\text{MO}}{\text{MA}}$ hay $\text{MA}^{2} = \text{MO}.\text{MH}$ (1)
Tương tự ta có: $\text{ΔAMD} \sim \text{ΔCMA~}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$
Suy ra $\dfrac{\text{MA}}{\text{MC}} = \dfrac{\text{MD}}{\text{MA}}$ hay $\text{MA}^{2} = \text{MD}.\text{MC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\text{MH}.\text{MO} = \text{MD}.\text{MC}$
c) Ta có $\widehat{\text{AMO}} = \widehat{\text{BMO}}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Vì tứ giác MAOB nội tiếp nên $\widehat{\text{OAB}} = \widehat{\text{BMO}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OB)
Do đó $\widehat{\text{AMO}} = \widehat{\text{OAB}}$ hay $\widehat{\text{IAK}} = \widehat{\text{AMO}}$
Xét $\text{ΔKAI}$ và $\text{ΔAMO}$ có: $\widehat{\text{AKI}} = \widehat{\text{MAO}} = 90^{\circ}$
$\widehat{\text{IAK}} = \widehat{\text{AMO}}$ (cmt)
Suy ra $\text{ΔKAI} \sim \text{ΔMAO}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$
nên $\dfrac{\text{IK}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OM}}$ hay $\dfrac{\text{IK}}{\text{R}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OM}}(1)$
Có $\widehat{\text{ABC}} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $\text{AB}\bot\text{BC}$
Mà $\text{MO}\bot\text{AB}$ nên $\text{BC}//\text{OM}$ suy ra $\widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{OMC}}$ (hai góc so le trong)
Lại có $\widehat{\text{IAD}} = \widehat{\text{BCD}}$ (cùng chắn cung BD) suy ra $\widehat{\text{IAD}} = \widehat{\text{OMC}}$
Xét $\text{ΔDAI}$ và $\text{ΔCMO}$ có:
$\widehat{\text{ACI}} = \widehat{\text{MCO~}}$ (cùng phụ với $\widehat{\text{KAD}}$)
$\widehat{\text{IAD}} = \widehat{\text{OMC}}\left( \text{cmt} \right)$
Suy ra $\text{ΔDAI} \sim \text{ΔCMO}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$ nên $\dfrac{\text{ID}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OM}}$ hay $\dfrac{\text{ID}}{\text{R}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OM}}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{\text{ID}}{\text{R}} = \dfrac{\text{IK}}{\text{R}}$ suy ra $\text{ID} = \text{IK}$(đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
