Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy

Câu hỏi số 789914:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC ($H \in BC$).

a) Chứng minh MHBO là tứ giác nội tiếp.

b) MB cắt OH tại E. Chứng minh $ME.HM = BE.HC$.

c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC là K. Chứng minh ba điểm C, K, E thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789914

Phương pháp giải

a) $\Delta MOB$ vuông tại O,$\Delta MHB$vuông tại H nên O, M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB.

b) Chứng minh $\Delta MHB \sim \Delta CHM\left( {g.g} \right)$ để có $\dfrac{MH}{BH} = \dfrac{CH}{MH}(3)$; HE là tia phân giác của tam giác MHB nên $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{MH}{HB}$ suy ra $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{CH}{MH}$ hay $ME.MH = BE.CH$

c) Chứng minh $\Delta MEC \backsim \Delta BEN$(c.g.c) suy ra $\widehat{MEC} = \widehat{BEN}$. Do đó ba điểm C, K, E thẳng hàng

Giải chi tiết

a) Gọi F là trung điểm của MB suy ra $MF = FB = \dfrac{MB}{2}$ (1)

Xét $\Delta MOB$ vuông tại O có OF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MB nên$OF = \dfrac{MB}{2}$ (2)

Tương tự ta có $HF = \dfrac{MB}{2}$ (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc đường tròn (F)

Hay tứ giác MHBO nội tiếp.

b) Xét $\Delta MHB$ và $\Delta CHM$ có:

$\widehat{MHB} = \widehat{CHM} = 90{^\circ}$

$\widehat{HMB} = \widehat{HCM}$(cùng phụ với $\widehat{HBM}$)

Suy ra $\Delta MHB \sim \Delta CHM\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{MH}{BH} = \dfrac{CH}{MH}(3)$

Tứ giác MHBO nội tiếp nên ta có: $\widehat{MHO} = \widehat{MBO}$; $\widehat{BMO} = \widehat{BHO}$(góc nt cùng chắn một cung)

Mà $\Delta OMB$vuông cân tại O nên $\widehat{BMO} = \widehat{MBO}$ suy ra $\widehat{MHO} = \widehat{BHO}$

nên HE là tia phân giác của tam giác MHB ta có: $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{MH}{HB}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{CH}{MH}$ suy ra $ME.MH = BE.CH$

c) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp MHC là I, vì $\Delta MHC$ vuông tại H nên đường tròn (I) có đường kính là MC.

Vậy $\widehat{MKC} = 90{^\circ}$. Mà $\widehat{MKN} = 90{^\circ}$

Suy ra ba điểm C, K, N thẳng hàng. (5)

Xét $\Delta MHC$ và $\Delta BMC$ có:

$\widehat{MHC} = \widehat{BMC} = 90{^\circ}$

Góc C chung

Suy ra $\Delta MHC \sim \Delta BMC\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{CH}{MH} = \dfrac{MC}{MB}$ mà $MB = NB$ nên $\dfrac{CH}{MH} = \dfrac{MC}{NB} = \dfrac{ME}{BE}$

$\Delta MEC$ và $\Delta BEN$ có $\widehat{CME} = \widehat{EBN} = 90{^\circ}$ và $\dfrac{MC}{NB} = \dfrac{ME}{BE}$

nên $\Delta MEC \backsim \Delta BEN$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MEC} = \widehat{BEN}$ mà M, E, B thẳng hàng nên C, E, N thẳng hàng (6)

Từ (5) và (6) suy ra bốn điểm C, K, E, N thẳng hàng hay C, K, E thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link