Một khách hàng đặt một người thợ làm một chiếc bể hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy

Câu hỏi số 789915:

Vận dụng

Một khách hàng đặt một người thợ làm một chiếc bể hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là hình vuông có cạnh là x và chiều cao của bể là h.

a) Nếu chiều cao của bể bằng độ dài cạnh đáy và chu vi mặt đáy là 2m. Tính thể tích của bể cá.

b) Theo đơn đặt hàng của khách thì bể cá được làm bằng kính trong suốt và phải chứa được 4m³ nước. Hỏi chiều dài của cạnh đáy và chiều cao của bể bằng bao nhiêu để người thợ tiết kiệm chi phí và nguyên vật liệu nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789915

Phương pháp giải

a) Từ công thức chu vi đáy bể cá, tính độ dài cạnh x của mặt đáy rồi tính thể tích bể cá

b) Từ công thức thể tích, rút ra h theo x, áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh bể.

Giải chi tiết

a) Vì chu vi mặt đáy là 2m, ta có: $4x = 2$ hay $x = 0,5$ (m) suy ra $h = 0,5$ (m)

Thể tích bể cá là: $V = S.d.h = (0,5).2.0,5 = 0,125(m^{3})$

Vậy thể tích của bể cá là $0,125m^{3}$

b) Vì thể tích của bể cá theo đơn đặt hàng là 4m³, ta có: $x^{3}.h = 4$suy ra $h = \dfrac{4}{x^{2}}$

Vì đáy của bể là hình vuông nên diện tích các mặt bên của bể là các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Do đó, diện tích kính dùng để làm bể là:

$S = S_{xq} + S_{\text{d}} = 4.x.h + x^{2} = 4.x.\dfrac{4}{x^{2}} + x^{2} = \dfrac{16}{x} + x^{2} = \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} + x^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có:

$S = \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} + x^{2} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{8}{x}.\dfrac{8}{x}.x^{2}} = 3\sqrt[3]{64} = 3.4 = 12$

Dấu “=” xảy ra: $\dfrac{8}{x} = x^{2}\ hay\ x^{3} = 8\ hay\ x = 2$ khi đó $h = 1$ (m)

Vậy để người thợ tiết kiệm chi phí và nguyên vật liệu nhất thì bể có cạnh đáy là 2m và chiều cao là 1m.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link