Cho hai biểu thức $P = \dfrac{9\sqrt{x}}{x - 16}$ và $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} -

Câu hỏi số 789918:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $P = \dfrac{9\sqrt{x}}{x - 16}$ và $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}}$ với $x > 0;x \neq 4;x \neq 16$

1) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 1$.

2) Chứng minh $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$.

3) Xét biểu thức $P = P \cdot Q$. Tìm các số thực $x$ để biểu thức $A$ nhận các giá trị là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789918

Phương pháp giải

1) Thay $x = 1$ vào biểu thức A rồi tính.

2) Rút gọn biểu thức.

3) Tính $A = P.Q$. Đánh giá để có $0 < A \leq \dfrac{9}{4}$. Mà A là số nguyên, suy ra $A \in \left\{ {1;2} \right\}$. Lần lượt xét các trường hợp $A = 1$ và $A = 2$.

Giải chi tiết

1) Thay $x = 1$ (TMĐK) vào biểu thức A ta được: $P = \dfrac{9.\sqrt{1}}{1 - 16} = \dfrac{9.1}{- 15} = \dfrac{- 3}{5}$

2) Với $x > 0;x \neq 4$ ta có:

$Q = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 1} \right) - \left( {5\sqrt{x} - 8} \right)}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{x - \sqrt{x} - 5\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{x - 6\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \left( {\sqrt{x} - 4} \right)}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$

Vậy $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$ với $x > 0;x \neq 4$.

3) Với $x > 0;x \neq 4;x \neq 16$, ta có:

$A = P.Q = \dfrac{9\sqrt{x}}{x - 16} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$

$= \dfrac{9\sqrt{x}.\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}{\sqrt{x}.\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} = \dfrac{9}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)}$

Vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} \geq 0$ suy ra $\sqrt{x} + 4 \geq 4$ suy ra $0 < \dfrac{9}{\sqrt{x} + 4} \leq \dfrac{9}{4}$ hay $0 < A \leq \dfrac{9}{4}$

Mà A là số nguyên, suy ra $A \in \left\{ {1;2} \right\}$

TH1: $\dfrac{9}{\sqrt{x} + 4} = 1$

$\sqrt{x} + 4 = 9$

$\sqrt{x} = 5$

$x = 25\text{~(TMĐK)~}$

TH2: $\dfrac{9}{\sqrt{x} + 4} = 2$

$\sqrt{x} + 4 = \dfrac{9}{2}$

$\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}$

$x = \dfrac{1}{4}\text{~(TMĐK)~}$

Vậy $x \in \left\{ {25;\dfrac{1}{4}} \right\}$ thì $A = P.Q$ là số nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link