Cho hai biểu thức $P = \dfrac{9\sqrt{x}}{x - 16}$ và $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} -

Câu hỏi số 789918:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $P = \dfrac{9\sqrt{x}}{x - 16}$ và $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}}$ với $x > 0;x \neq 4;x \neq 16$

1) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 1$.

2) Chứng minh $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$.

3) Xét biểu thức $P = P \cdot Q$. Tìm các số thực $x$ để biểu thức $A$ nhận các giá trị là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789918

Phương pháp giải

1) Thay $x = 1$ vào biểu thức A rồi tính.

2) Rút gọn biểu thức.

3) Tính $A = P.Q$. Đánh giá để có $0 < A \leq \dfrac{9}{4}$. Mà A là số nguyên, suy ra $A \in \left\{ {1;2} \right\}$. Lần lượt xét các trường hợp $A = 1$ và $A = 2$.

Giải chi tiết

1) Thay $x = 1$ (TMĐK) vào biểu thức A ta được: $P = \dfrac{9.\sqrt{1}}{1 - 16} = \dfrac{9.1}{- 15} = \dfrac{- 3}{5}$

2) Với $x > 0;x \neq 4$ ta có:

$Q = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{5\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 1} \right) - \left( {5\sqrt{x} - 8} \right)}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{x - \sqrt{x} - 5\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{x - 6\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \left( {\sqrt{x} - 4} \right)}{\sqrt{x} \cdot \left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$

Vậy $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$ với $x > 0;x \neq 4$.

3) Với $x > 0;x \neq 4;x \neq 16$, ta có:

$A = P.Q = \dfrac{9\sqrt{x}}{x - 16} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$

$= \dfrac{9\sqrt{x}.\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}{\sqrt{x}.\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} = \dfrac{9}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)}$

Vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} \geq 0$ suy ra $\sqrt{x} + 4 \geq 4$ suy ra $0 < \dfrac{9}{\sqrt{x} + 4} \leq \dfrac{9}{4}$ hay $0 < A \leq \dfrac{9}{4}$

Mà A là số nguyên, suy ra $A \in \left\{ {1;2} \right\}$

TH1: $\dfrac{9}{\sqrt{x} + 4} = 1$

$\sqrt{x} + 4 = 9$

$\sqrt{x} = 5$

$x = 25\text{~(TMĐK)~}$

TH2: $\dfrac{9}{\sqrt{x} + 4} = 2$

$\sqrt{x} + 4 = \dfrac{9}{2}$

$\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}$

$x = \dfrac{1}{4}\text{~(TMĐK)~}$

Vậy $x \in \left\{ {25;\dfrac{1}{4}} \right\}$ thì $A = P.Q$ là số nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link