Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây cung $BC$ cố định $(BC < 2R)$. Điểm $A$ di động trên
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây cung $BC$ cố định $(BC < 2R)$. Điểm $A$ di động trên $\left( {O;R} \right)$ sao cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn và $AB < AC$. Vẽ đường cao $BK$ và $CD$ cắt nhau tại $H$, kẻ đường kính $AM$. Hạ $CE$ vuông góc với $AM$ tại $E$.
a) Chứng minh bốn điểm $A,D,E,C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng $\widehat{ABH} = \widehat{DEA}$ và $DE \cdot BC = DC \cdot BM$
c) Kéo dài $DE$ cắt $BM$ tại $F$. Chứng minh rằng $DF$ luôn đi qua một điểm cố định.
Quảng cáo
a) $\Delta ADC$ vuông tại D, $\Delta AEC$ vuông tại E nên bốn điểm $A,D,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
b) Chứng minh $\Delta DEC \sim \Delta BMC\left( {g - g} \right)$ suy ra $\dfrac{DE}{MB} = \dfrac{DC}{BC}$ hay $DE.BC = DC.BM$
c) Chứng minh $\Delta DCI$ và $\Delta BCI$ cân tại $I$ suy ra $IB = IC$. Vậy DF luôn đi qua điểm I cố định.
a) Ta có:
$\Delta ADC$ vuông tại D nên 3 điểm $\text{A},\text{D},\text{C}$ cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của AC (1)
$\Delta AEC$ vuông tại E nên 3 điểm $\text{A},\text{E},\text{C}$ cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của AC (2)
Từ (1), (2) ta có: 4 điểm $\text{A},\text{D},\text{E},\text{C}$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có: $\widehat{ABK} = \widehat{ACD}$ (vì cùng phụ $\widehat{BAC}$ ) (1)
Vì tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn nên $\widehat{DEA} = \widehat{DCA}$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $\widehat{ABK} = \widehat{DEA}$
Xét $\Delta DEC$ và $\Delta BMC$ có:
$\widehat{EDC} = \widehat{MBC}\left( {= \widehat{MAC}} \right)$
$\widehat{BCM} = \widehat{DCE}\left( {= \widehat{BAM}} \right)$
Suy ra $\Delta DEC \sim \Delta BMC\left( {g - g} \right)$
Suy ra $\dfrac{DE}{MB} = \dfrac{DC}{BC}$ hay $DE.BC = DC.BM$(đpcm)
c) Kẻ $AH$ cắt $BC$ tại N, gọi I là giao điểm của BC và DF
$\Delta ANC$ vuông tại N nên 3 điểm $\text{A},\text{N},\text{C}$ cùng thuộc đường tròn đường kính AC
Suy ra $A,D,N,E,C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AC$
Ta có: $\widehat{DAN} = \widehat{DCI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DN);
$\widehat{CDI} = \widehat{CAE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
$\widehat{CAE} = \widehat{CBM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CM$)
$\widehat{CBM} = \widehat{DAN}$ (cùng phụ với $\widehat{ABN}$)
Suy ra $\widehat{CDI} = \widehat{DCI}$
Do đó $\Delta DCI$ cân tại $I$ nên $ID = IC$ (3)
Ta có: $\widehat{ACE} = \widehat{AMC}$ (cùng phụ với $\widehat{ECM}$);
$\widehat{AMC} = \widehat{IBD}$ (góc nội tiếp chắn cung AC)
$\widehat{ACE} = \widehat{BDI}$ (cùng bù với $\widehat{ADE}$)
Suy ra $\widehat{BDI} = \widehat{IBD}$
Do đó $\Delta IBD$ cân tại $I$ nên $ID = IB$(4)
Từ (3) và (4) suy ra$IB = IC$ hay I là trung điểm của BC
Vì BC cố định nên I cố định
Vậy $DF$ luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm của $BC$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
